calcule mathscr{L}{f(t)}\) para \(f(t)= \begin{cases}t, & 0 \leq t<1 \\\\ 1, & t \geq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função em pedaços
f(t)= \begin{cases} t, & 0 \le t<1,\\\\ 1, & t\ge1. \end{cases}
O conteúdo envolvido é a definição de transformada de Laplace e integração por partes, além de integrais impróprias para a parte constante.

Passo 2

Pela definição,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-st}\,dt =\int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt+\int_{1}^{\infty}1\cdot e^{-st}\,dt.

Passo 3

Calculamos \displaystyle \int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt por integração por partes. Tomando
u=t,\quad dv=e^{-st}dt \quad\Longrightarrow\quad du=dt,\quad v=-\frac{1}{s}e^{-st},
temos
\int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt =\Bigl[-\frac{t}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{1} +\frac{1}{s}\int_{0}^{1}e^{-st}\,dt =-\frac{e^{-s}}{s} +\frac{1}{s}\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{1}.
Assim,
\int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt =-\frac{e^{-s}}{s} +\frac{1}{s}\Bigl(-\frac{e^{-s}}{s}+\frac{1}{s}\Bigr) =\frac{1-(s+1)e^{-s}}{s^{2}}.

Passo 4

Agora \displaystyle \int_{1}^{\infty}e^{-st}\,dt é uma integral imprópria simples:
\int_{1}^{\infty}e^{-st}\,dt =\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{1}^{\infty} =0- \Bigl(-\frac{1}{s}e^{-s}\Bigr) =\frac{e^{-s}}{s}.

Passo 5

Somando os resultados:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =\frac{1-(s+1)e^{-s}}{s^{2}}+\frac{e^{-s}}{s} =\frac{1}{s^{2}}- \frac{(s+1)e^{-s}}{s^{2}}+\frac{e^{-s}}{s} =\frac{1}{s^{2}}-\frac{e^{-s}}{s^{2}} =\frac{1-e^{-s}}{s^{2}}.

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{1-e^{-s}}{s^{2}}.

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