calcule mathscr{L}{f(t)} para f(t)=e^{t+7}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=e^{t+7}. O conteúdo central aqui é a transformada de Laplace, definida por
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-st}\,dt,
e vamos usar a propriedade de linearidade e a fórmula conhecida
\mathscr{L}\{e^{a t}\}(s)=\frac{1}{s-a},\quad \Re(s)>a.

Passo 2

Observamos que
f(t)=e^{t+7}=e^{7}\,e^{t}.
Aqui e^{7} é uma constante com respeito a t.

Passo 3

Pelo princípio da linearidade da transformada de Laplace, podemos tirar a constante e^{7} para fora da integral. Assim,
\mathscr{L}\{e^{t+7}\}(s) = e^{7}\,\mathscr{L}\{e^{t}\}(s).

Passo 4

Aplicando a fórmula \mathscr{L}\{e^{a t}\}(s)=1/(s-a) com a=1, obtemos
\mathscr{L}\{e^{t}\}(s)=\frac{1}{s-1},\quad \Re(s)>1.
Logo,
\mathscr{L}\{e^{t+7}\}(s) = e^{7}\,\frac{1}{s-1} = \frac{e^{7}}{s-1},
com região de convergência \Re(s)>1.

Resposta

\mathscr{L}\{e^{t+7}\}(s) = \frac{e^{7}}{s-1},\quad \Re(s)>1.

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