Use a definição da integral definida como limite para calcular as seguintes integrais definidas:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
usando a definição da integral definida como limite (soma de Riemann). As informações dadas são:
O que se quer: calcular o valor numérico da integral definida usando a definição por limites de somas.
Passo 2
Vou recordar a definição que usaremos (aqui explico com calma): a integral definida de
em
é o limite, quando
, das somas de Riemann para uma partição de
subintervalos uniformes. Escrevendo:
e escolhendo um ponto de amostragem
em cada subintervalo
, a soma de Riemann é
A integral é o limite
se esse limite existir. Aqui vamos escolher a partição uniforme e os pontos de amostragem como os extremos direitos (
) — uma escolha padrão que funciona bem.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso:
,
. Então
Os extremos direitos são
A soma de Riemann com pontos à direita é
Passo 4
Agora substituo a função
dentro da soma:
Logo
Passo 5
Distribuo o
e separo a soma em duas somas mais simples:
Como
não depende de
,
Portanto
Passo 6
Agora precisamos da soma dos quadrados
. A fórmula bem conhecida (e que você pode memorizar ou deduzir) é
(Se quiser, dá para provar essa fórmula por indução ou por manipulações algébricas, mas aqui a usamos diretamente.)
Passo 7
Substituindo na expressão de
:
Simplifico o coeficiente:
logo
Passo 8
Simplifico a fração dentro do produto dividindo por
:
Desenvolvendo para ver o comportamento quando
:
Então
Passo 9
Distribuo o
:
Calculo
. Assim
Agora tomo o limite quando
. Os termos
e
tendem a
. Portanto
Passo 10
Conclusão: pelo processo de limites de somas de Riemann, obtemos
(Fazendo um chequinho rápido com a primitiva: uma primitiva é
; avaliando de
a
dá
, confirma o resultado.)