Use a definição da integral definida como limite para calcular as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{2}\left(2-x^{2}\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{2}\left(2-x^{2}\right)\,dx usando a definição da integral definida como limite (soma de Riemann). As informações dadas são:
\text{função } f(x)=2-x^{2},\qquad \text{intervalo } [0,2].çã
O que se quer: calcular o valor numérico da integral definida usando a definição por limites de somas.

Passo 2

Vou recordar a definição que usaremos (aqui explico com calma): a integral definida de f em [a,b] é o limite, quando n\to\infty, das somas de Riemann para uma partição de n subintervalos uniformes. Escrevendo:
\Delta x=\frac{b-a}{n},
x_i = a+i\Delta x\quad (i=0,1,\dots,n),
e escolhendo um ponto de amostragem x_i^* em cada subintervalo [x_{i-1},x_i], a soma de Riemann é
S_n=\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x.
A integral é o limite
\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty} S_n,
se esse limite existir. Aqui vamos escolher a partição uniforme e os pontos de amostragem como os extremos direitos ( x_i^*=x_i) — uma escolha padrão que funciona bem.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: a=0, b=2. Então
\Delta x=\frac{2-0}{n}=\frac{2}{n}.
Os extremos direitos são
x_i = 0 + i\Delta x = \frac{2i}{n},\qquad i=1,2,\dots,n.
A soma de Riemann com pontos à direita é
S_n=\sum_{i=1}^{n} f\!\left(\frac{2i}{n}\right)\cdot\frac{2}{n}.

Passo 4

Agora substituo a função f(x)=2-x^{2} dentro da soma:
f\!\left(\frac{2i}{n}\right)=2-\left(\frac{2i}{n}\right)^{2}=2-\frac{4i^{2}}{n^{2}}.
Logo
S_n=\sum_{i=1}^{n}\left(2-\frac{4i^{2}}{n^{2}}\right)\cdot\frac{2}{n}.

Passo 5

Distribuo o \frac{2}{n} e separo a soma em duas somas mais simples:
S_n=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{4}{n}-\frac{8i^{2}}{n^{3}}\right) = \sum_{i=1}^{n}\frac{4}{n} \;-\; \sum_{i=1}^{n}\frac{8i^{2}}{n^{3}}.
Como \frac{4}{n} não depende de i,
\sum_{i=1}^{n}\frac{4}{n}=\frac{4}{n}\cdot n=4.
Portanto
S_n=4 \;-\; \frac{8}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n} i^{2}.

Passo 6

Agora precisamos da soma dos quadrados \sum_{i=1}^{n} i^{2}. A fórmula bem conhecida (e que você pode memorizar ou deduzir) é
\sum_{i=1}^{n} i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
(Se quiser, dá para provar essa fórmula por indução ou por manipulações algébricas, mas aqui a usamos diretamente.)

Passo 7

Substituindo na expressão de S_n:
S_n=4 - \frac{8}{n^{3}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Simplifico o coeficiente:
\frac{8}{6}=\frac{4}{3},
logo
S_n=4 - \frac{4}{3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{n^{3}}.

Passo 8

Simplifico a fração dentro do produto dividindo por n^{3}:
\frac{n(n+1)(2n+1)}{n^{3}}=\frac{(n+1)(2n+1)}{n^{2}}.
Desenvolvendo para ver o comportamento quando n\to\infty:
(n+1)(2n+1)=2n^{2}+3n+1,
\frac{2n^{2}+3n+1}{n^{2}}=2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}}.
Então
S_n=4 - \frac{4}{3}\left(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right).

Passo 9

Distribuo o \frac{4}{3}:
S_n=4 - \left(\frac{8}{3}+\frac{4}{n}+\frac{4}{3n^{2}}\right) = \left(4-\frac{8}{3}\right) - \frac{4}{n} - \frac{4}{3n^{2}}.
Calculo 4-\frac{8}{3}=\frac{12-8}{3}=\frac{4}{3}. Assim
S_n=\frac{4}{3} - \frac{4}{n} - \frac{4}{3n^{2}}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty. Os termos \frac{4}{n} e \frac{4}{3n^{2}} tendem a 0. Portanto
\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{4}{3}.

Passo 10

Conclusão: pelo processo de limites de somas de Riemann, obtemos
\int_{0}^{2}\left(2-x^{2}\right)\,dx=\frac{4}{3}.
(Fazendo um chequinho rápido com a primitiva: uma primitiva é F(x)=2x-\tfrac{x^{3}}{3}; avaliando de 0 a 2 F(2)-F(0)=4-\tfrac{8}{3}=\tfrac{4}{3}, confirma o resultado.)

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}

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