Lembrete rápido das fórmulas que vamos usar (explicação didática).
Determinante por expansão na primeira linha: para uma matriz 3\times3
\det(A)=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13},
onde M_{1j} é o menor de ordem 2 obtido ao eliminar a linha 1 e a coluna j. Aqui estou escrevendo a regra de sinal da expansão: +,-,+ na primeira linha.
Definição de menor M_{ij}: é o determinante da submatriz que sobra ao cortar a linha i e a coluna j.
Cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Matriz adjunta (adjugada): \mathrm{adj}(A)=\big(C_{ij}\big)^{\!T} — ou seja, transposta da matriz de cofatores.
Inversa usando adjunta (quando \det(A)\neq0):
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A).
Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular os menores necessários para a expansão pela primeira linha e obter o determinante.
Pequena verificação rápida (sanidade): produto da primeira linha de A pelos cofatores da primeira coluna dá o determinante.
Calculando 2\cdot C_{11}+1\cdot C_{12}+(-3)\cdot C_{13}=2\cdot5+1\cdot5+(-3)\cdot(-10)=10+5+30=45, que é \det(A). Isso confirma consistência dos cofatores e do determinante.