Calcule a matriz adjunta, o determinante e a inversa ( usando a adjunta) das matrizes :
A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & -3 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 5 & 1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se: a matriz adjunta (adjugada), o determinante e a inversa (usando a adjunta) da matriz A.
  • A matriz dada é
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3\\[4pt] 0 & 2 & 1\\[4pt] 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 2

Lembrete rápido das fórmulas que vamos usar (explicação didática).
  • Determinante por expansão na primeira linha: para uma matriz 3\times3
\det(A)=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13},
onde M_{1j} é o menor de ordem 2 obtido ao eliminar a linha 1 e a coluna j. Aqui estou escrevendo a regra de sinal da expansão: +,-,+ na primeira linha.
  • Definição de menor M_{ij}: é o determinante da submatriz que sobra ao cortar a linha i e a coluna j.
  • Cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
  • Matriz adjunta (adjugada): \mathrm{adj}(A)=\big(C_{ij}\big)^{\!T} — ou seja, transposta da matriz de cofatores.
  • Inversa usando adjunta (quando \det(A)\neq0):
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A).
Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular os menores necessários para a expansão pela primeira linha e obter o determinante.
  • Menor correspondente a a_{11}=2:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}=2\cdot3-1\cdot1=6-1=5.
  • Menor correspondente a a_{12}=1:
M_{12}=\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]5 & 3\end{pmatrix}=0\cdot3-1\cdot5=0-5=-5.
  • Menor correspondente a a_{13}=-3:
M_{13}=\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]5 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-2\cdot5=0-10=-10.]

Passo 4

Calcular o determinante \det(A) usando a expansão pela primeira linha.
Usando a fórmula \det(A)=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13} (note os sinais +,-,+):
\det(A)=2\cdot M_{11}-1\cdot M_{12}+(-3)\cdot M_{13}.
Substituindo os valores obtidos:
\det(A)=2\cdot5 - 1\cdot(-5) + (-3)\cdot(-10)=10+5+30=45.
Portanto \det(A)=45. Como é diferente de zero, A é invertível e podemos prosseguir para a adjunta e a inversa.

Passo 5

Explicação e cálculo sistemático dos restantes dos menores e cofatores.
Lembre que o cofator é C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}. Vou calcular todos os menores M_{ij} (cada um é determinante 2\times2) e então os cofatores C_{ij}.
  • Para i=1: M_{11}=5,\qquad C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=+5.
M_{12}=-5,\qquad C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot(-5)=+5.
M_{13}=-10,\qquad C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=+1\cdot(-10)=-10.
  • Para i=2:
    Calcular os menores eliminando a linha 2. M_{21}=\det\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}=1\cdot3-(-3)\cdot1=3+3=6,
C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot6=-6.
M_{22}=\det\begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]5 & 3\end{pmatrix}=2\cdot3-(-3)\cdot5=6+15=21,
C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=+1\cdot21=21.
M_{23}=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]5 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-1\cdot5=2-5=-3,
C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-1\cdot(-3)=+3.
  • Para i=3:
    Calcular os menores eliminando a linha 3. M_{31}=\det\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-(-3)\cdot2=1+6=7,
C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=+1\cdot7=7.
M_{32}=\det\begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-(-3)\cdot0=2-0=2,
C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-1\cdot2=-2.
M_{33}=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-1\cdot0=4,
C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=+1\cdot4=4.]

Passo 6

Montar a matriz de cofatores e obter a adjunta (transposta da matriz de cofatores).
A matriz de cofatores C=(C_{ij}) é
C=\begin{pmatrix} 5 & 5 & -10\\[4pt] -6 & 21 & 3\\[4pt] 7 & -2 & 4 \end{pmatrix}.
A adjunta é a transposta dessa matriz:
\mathrm{adj}(A)=C^{T}=\begin{pmatrix} 5 & -6 & 7\\[4pt] 5 & 21 & -2\\[4pt] -10 & 3 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Usar a adjunta para obter a inversa (fórmula) e simplificar as entradas.
Fórmula:
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A)=\dfrac{1}{45}\begin{pmatrix} 5 & -6 & 7\\[4pt] 5 & 21 & -2\\[4pt] -10 & 3 & 4 \end{pmatrix}.
Podemos simplificar cada entrada dividindo por 45. Fazendo as frações em forma reduzida:
A^{-1}=\begin{pmatrix} \dfrac{5}{45} & -\dfrac{6}{45} & \dfrac{7}{45}\\[6pt] \dfrac{5}{45} & \dfrac{21}{45} & -\dfrac{2}{45}\\[6pt] -\dfrac{10}{45} & \dfrac{3}{45} & \dfrac{4}{45} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{9} & -\dfrac{2}{15} & \dfrac{7}{45}\\[6pt] \dfrac{1}{9} & \dfrac{7}{15} & -\dfrac{2}{45}\\[6pt] -\dfrac{2}{9} & \dfrac{1}{15} & \dfrac{4}{45} \end{pmatrix}.]

Passo 8

Pequena verificação rápida (sanidade): produto da primeira linha de A pelos cofatores da primeira coluna dá o determinante.
Calculando 2\cdot C_{11}+1\cdot C_{12}+(-3)\cdot C_{13}=2\cdot5+1\cdot5+(-3)\cdot(-10)=10+5+30=45, que é \det(A). Isso confirma consistência dos cofatores e do determinante.

Resposta

\mathrm{adj}(A)=\begin{pmatrix}5 & -6 & 7\\[4pt]5 & 21 & -2\\[4pt]-10 & 3 & 4\end{pmatrix}
\det(A)=45
A^{-1}=\dfrac{1}{45}\begin{pmatrix}5 & -6 & 7\\[4pt]5 & 21 & -2\\[4pt]-10 & 3 & 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{9} & -\dfrac{2}{15} & \dfrac{7}{45}\\[6pt]\dfrac{1}{9} & \dfrac{7}{15} & -\dfrac{2}{45}\\[6pt]-\dfrac{2}{9} & \dfrac{1}{15} & \dfrac{4}{45}\end{pmatrix}\]

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