Considere a diagonalização A=P D P^{-1} onde P=\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ -2 & 2\end{array}\right] e D= \left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\\\ 0 & -1\end{array}\right]. Determine a expressão geral para A^{k}.

Passo 1

O enunciado dá a diagonalização A = P D P^{-1} com
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-2 & 2\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix},
e pede a expressão geral para A^{k} (para k inteiro positivo).
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz P está explícita (entradas 1,1,-2,2).
  • A matriz D é diagonal com autovalores 3 e -1.
  • O objetivo é escrever A^{k} em função de k.]

Passo 2

Propriedade chave (explicação didática): se A = P D P^{-1} então, por multiplicação matricial associativa e indução em k,
A^{k} = P D^{k} P^{-1}.
Por que isso vale? Para k=1 é a própria igualdade dada. Supondo A^{m}=P D^{m} P^{-1}, então
A^{m+1}=A\cdot A^{m} = (PDP^{-1})(P D^{m} P^{-1}) = P D (P^{-1}P) D^{m} P^{-1} = P D^{m+1} P^{-1},
já que P^{-1}P=I. Assim a fórmula vale para todo k\in\mathbb{N}.
Além disso, para uma matriz diagonal, elevar à potência é simples: basta elevar cada entrada diagonal ao expoente:
D^{k}=\begin{pmatrix}3^{k} & 0\\[4pt]0 & (-1)^{k}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular explicitamente D^{k} (aplicando a ideia acima):
D^{k}=\begin{pmatrix}3^{k} & 0\\[4pt]0 & (-1)^{k}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular P^{-1}. Para P=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix} a inversa (quando \det P\neq0) é
P^{-1}=\frac{1}{\det P}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
Aqui a=1,\\ b=1,\\ c=-2,\\ d=2. O determinante é
\det P = ad-bc = 1\cdot 2 - 1\cdot(-2) = 2+2 = 4.
Logo
P^{-1}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular primeiro P D^{k}. Multiplicando P por D^{k} (multiplicação linha×coluna; cada coluna de P é escalada pelo correspondente elemento diagonal de D^{k}):
P D^{k}= \begin{pmatrix} 1\cdot 3^{k} & 1\cdot (-1)^{k}\\[4pt] -2\cdot 3^{k} & 2\cdot (-1)^{k} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3^{k} & (-1)^{k}\\[4pt] -2\cdot 3^{k} & 2(-1)^{k} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora multiplicar P D^{k} por P^{-1}:
A^{k}=P D^{k} P^{-1}=\left(\begin{pmatrix} 3^{k} & (-1)^{k}\\[4pt] -2\cdot 3^{k} & 2(-1)^{k} \end{pmatrix}\right)\left(\frac{1}{4}\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}\right).
É conveniente primeiro multiplicar as matrizes sem o fator 1/4 e depois dividir por 4. Seja
Y=\begin{pmatrix} 3^{k} & (-1)^{k}\\[4pt] -2\cdot 3^{k} & 2(-1)^{k} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.
Calculando as entradas de Y (produto linha × coluna):
\begin{aligned} Y_{11} &= 3^{k}\cdot 2 + (-1)^{k}\cdot 2 = 2\bigl(3^{k}+(-1)^{k}\bigr),\\[4pt] Y_{12} &= 3^{k}\cdot(-1) + (-1)^{k}\cdot 1 = -3^{k}+(-1)^{k} = (-1)^{k}-3^{k},\\[4pt] Y_{21} &= (-2\cdot 3^{k})\cdot 2 + 2(-1)^{k}\cdot 2 = 2\bigl(-2\cdot 3^{k} + 2(-1)^{k}\bigr) =4\bigl((-1)^{k}-3^{k}\bigr),\\[4pt] Y_{22} &= (-2\cdot 3^{k})\cdot(-1) + 2(-1)^{k}\cdot 1 = 2\cdot 3^{k} + 2(-1)^{k} = 2\bigl(3^{k}+(-1)^{k}\bigr). \end{aligned}
Portanto
A^{k}=\frac{1}{4}Y =\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 2\bigl(3^{k}+(-1)^{k}\bigr) & (-1)^{k}-3^{k}\\[4pt] 4\bigl((-1)^{k}-3^{k}\bigr) & 2\bigl(3^{k}+(-1)^{k}\bigr) \end{pmatrix}.]

Passo 7

Simplificar cada entrada dividindo por 4:
A^{k}=\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{3^{k}+(-1)^{k}}{2} & \displaystyle\frac{(-1)^{k}-3^{k}}{4}\\[10pt] \displaystyle (-1)^{k}-3^{k} & \displaystyle\frac{3^{k}+(-1)^{k}}{2} \end{pmatrix}.
Pequena checagem (conforto mental): para k=1 a fórmula dá
A=\begin{pmatrix}\tfrac{3+(-1)}{2} & \tfrac{-1-3}{4}\\[4pt]-1-3 & \tfrac{3+(-1)}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-4 & 1\end{pmatrix},
que é consistente com a diagonalização dada (pode ser verificado multiplicando PDP^{-1}).]

Resposta

A^{k}=\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{3^{k}+(-1)^{k}}{2} & \displaystyle\frac{(-1)^{k}-3^{k}}{4}\\[10pt] \displaystyle (-1)^{k}-3^{k} & \displaystyle\frac{3^{k}+(-1)^{k}}{2} \end{pmatrix}.]

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