Seja A=\left[\begin{array}{cc}2 & x^{2} \\\\ 2 x-1 & 0\end{array}\right].
Se A é uma matriz simétrica, então A-A^{\prime}= ?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & x^{2}\\[4pt] 2x-1 & 0\end{pmatrix}
e afirma que A é uma matriz simétrica. A pergunta é: calcular A-A^{\prime} (onde A^{\prime} é a transposta de A) sob a hipótese de que A é simétrica. Vou listar as informações relevantes que eu tenho:
  • A matriz A é 2\times2 com entradas a_{11}=2, a_{12}=x^{2}, a_{21}=2x-1, a_{22}=0.
  • Foi dado que A é simétrica (isto é, A=A^{\prime}).
  • Preciso encontrar A-A^{\prime}.]

Passo 2

Explicando o que é a transposta: para uma matriz 2\times2 a transposta A^{\prime} é obtida trocando linhas por colunas. Assim, a entrada a_{ij} de A passa para a posição a_{ji} em A^{\prime}. Aplicando isso a A obtemos explicitamente
A^{\prime}=\begin{pmatrix}2 & 2x-1\\[4pt] x^{2} & 0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora calculo A-A^{\prime} elemento a elemento (subtração matricial é componente a componente). Subtraindo as duas matrizes:
A-A^{\prime}=\begin{pmatrix} 2-2 & x^{2}-(2x-1)\\[4pt] (2x-1)-x^{2} & 0-0 \end{pmatrix}.
Simplificando as entradas:
2-2=0,\qquad 0-0=0,
e para as entradas fora da diagonal
x^{2}-(2x-1)=x^{2}-2x+1=(x-1)^{2},
(2x-1)-x^{2}=-(x^{2}-2x+1)=-(x-1)^{2}.
Portanto, de forma geral (sem ainda usar a hipótese) temos
A-A^{\prime}=\begin{pmatrix}0 & (x-1)^{2}\\[4pt] -(x-1)^{2} & 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora uso a hipótese do enunciado: A é simétrica, ou seja A=A^{\prime}. Isso implica que todas as entradas correspondentes são iguais; em particular as entradas fora da diagonal devem satisfazer
x^{2}=2x-1.
Reescrevendo, isso dá
x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}=0,
logo x=1. Com x=1 a matriz A fica simétrica e, substituindo em A-A^{\prime}, obtemos que (x-1)^{2}=0, então todas as entradas da diferença são zero.

Passo 5

Conclusão: sob a hipótese de que A é simétrica (o que força x=1), a diferença A-A^{\prime} é a matriz nula 2\times2. Em notação matricial,
A-A^{\prime}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}]

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