Calcule a matriz adjunta, o determinante e a inversa ( usando a adjunta) das matrizes :
B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & -1 \\\\ 0 & -2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
B=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 1 & -1 \\[4pt] 0 & -2 & 1\end{pmatrix}
e pede, explicitamente:
  • calcular a matriz adjunta (adjugate) de B, ou seja \operatorname{adj}(B);
  • calcular o determinante \det(B);
  • calcular a inversa B^{-1} usando a adjunta (ou seja, usando B^{-1}=\dfrac{1}{\det(B)}\operatorname{adj}(B)).
As entradas da matriz estão todas listadas acima; a resolução começa na próxima etapa.]

Passo 2

Primeiro vamos calcular \det(B). Vou usar a expansão pela primeira linha — é um jeito direto para matrizes 3\times3.
Regra (lembrete): para 3\times3
\det(B)=b_{11}C_{11}+b_{12}C_{12}+b_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}M_{1j} é o cofator da entrada b_{1j} e M_{1j} é o determinante da submatriz 2\times2 que sobra ao eliminar a linha 1 e a coluna j.
Aplicando à primeira linha de B (que é (1,1,0)):
  • Para j=1: a submatriz é
    \begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix}.
    O seu determinante é
    M_{11}=1\cdot1-(-1)\cdot(-2)=1-2=-1.
    O cofator é C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=+1\cdot(-1)=-1.
  • Para j=2: a submatriz é
    \begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
    O seu determinante é
    M_{12}=1\cdot1-(-1)\cdot0=1-0=1.
    O cofator é C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot1=-1.
  • Para j=3: a submatriz é
    \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix}.
    O seu determinante é
    M_{13}=1\cdot(-2)-1\cdot0=-2-0=-2.
    O cofator é C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=+1\cdot(-2)=-2.
Agora a expansão:
\det(B)=b_{11}C_{11}+b_{12}C_{12}+b_{13}C_{13}=1\cdot(-1)+1\cdot(-1)+0\cdot(-2)=-1-1+0=-2.
Portanto \det(B)=-2.]

Passo 3

Agora vamos construir a matriz dos cofatores completa (cada C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}). Vou calcular sistematicamente todos os menores M_{ij} e depois os cofatores.
  • Linha i=1:
    • M_{11}=-1 (já calculado) então C_{11}=-1.
    • M_{12}=1 (já calculado) então C_{12}=-1.
    • M_{13}=-2 (já calculado) então C_{13}=-2.
  • Linha i=2:
    • Para j=1: eliminar linha 2 e coluna 1 fica a submatriz \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix}.Então M_{21}=1\cdot1-0\cdot(-2)=1. Como C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot1=-1.
    • Para j=2: eliminar linha 2 coluna 2 fica \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},então M_{22}=1\cdot1-0\cdot0=1. Como C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=+1\cdot1=1.
    • Para j=3: eliminar linha 2 coluna 3 fica \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix},então M_{23}=1\cdot(-2)-1\cdot0=-2. Como C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-1\cdot(-2)=2.
  • Linha i=3:
    • Para j=1: eliminar linha 3 coluna 1 fica \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix},então M_{31}=1\cdot(-1)-0\cdot1=-1. Como C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=+1\cdot(-1)=-1.
    • Para j=2: eliminar linha 3 coluna 2 fica \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}(os elementos são colunas 1 e 3 das duas primeiras linhas), então M_{32}=-1 também. Como C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-1\cdot(-1)=1.
    • Para j=3: eliminar linha 3 coluna 3 fica \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},então M_{33}=1\cdot1-1\cdot1=0. Como C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=+1\cdot0=0.
Assim a matriz dos cofatores C=(C_{ij}) é
C=\begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 \\[4pt] -1 & 1 & 2 \\[4pt] -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

A matriz adjunta (adjugate) \operatorname{adj}(B) é a transposta da matriz dos cofatores:
\operatorname{adj}(B)=C^{\top}= \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\[4pt] -1 & 1 & 1 \\[4pt] -2 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Vou repetir para fixar: adjunta = transposta da matriz dos cofatores.]

Passo 5

Agora usamos a fórmula da inversa por adjunta:
B^{-1}=\dfrac{1}{\det(B)}\operatorname{adj}(B).
Como \det(B)=-2, temos 1/\det(B)=-\tfrac{1}{2}. Multiplicando cada entrada de \operatorname{adj}(B) por -\tfrac{1}{2}:
B^{-1}=-\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\[4pt] -1 & 1 & 1 \\[4pt] -2 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\[4pt] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\[4pt] 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Breve verificação (opcional, mas boa para confiar no resultado): multiplicando B por B^{-1} espera-se a identidade. Faço uma verificação rápida do primeiro elemento (1,1) de B B^{-1}:
\begin{aligned} ( BB^{-1} )_{11} &=1\cdot\frac{1}{2}+1\cdot\frac{1}{2}+0\cdot1\\[4pt] &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+0=1. \end{aligned}
Isso confere; verificações parecidas dão os outros elementos da matriz identidade 3\times3. (A verificação completa é direta multiplicação de matrizes.)]

Resposta

\operatorname{adj}(B)=\displaystyle\begin{pmatrix}-1 & -1 & -1 \\[4pt]-1 & 1 & 1 \\[4pt]-2 & 2 & 0\end{pmatrix}
\det(B)=-2
B^{-1}=\displaystyle\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\[6pt]\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} \\[6pt]1 & -1 & 0\end{pmatrix}]

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