calcular a matriz adjunta (adjugate) de B, ou seja \operatorname{adj}(B);
calcular o determinante \det(B);
calcular a inversa B^{-1} usando a adjunta (ou seja, usando B^{-1}=\dfrac{1}{\det(B)}\operatorname{adj}(B)).
As entradas da matriz estão todas listadas acima; a resolução começa na próxima etapa.]
Passo 2
Primeiro vamos calcular \det(B). Vou usar a expansão pela primeira linha — é um jeito direto para matrizes 3\times3.
Regra (lembrete): para 3\times3
\det(B)=b_{11}C_{11}+b_{12}C_{12}+b_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}M_{1j} é o cofator da entrada b_{1j} e M_{1j} é o determinante da submatriz 2\times2 que sobra ao eliminar a linha 1 e a coluna j.
Agora vamos construir a matriz dos cofatores completa (cada C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}). Vou calcular sistematicamente todos os menores M_{ij} e depois os cofatores.
Linha i=1:
M_{11}=-1 (já calculado) então C_{11}=-1.
M_{12}=1 (já calculado) então C_{12}=-1.
M_{13}=-2 (já calculado) então C_{13}=-2.
Linha i=2:
Para j=1: eliminar linha 2 e coluna 1 fica a submatriz\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix}.Então M_{21}=1\cdot1-0\cdot(-2)=1. Como C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot1=-1.
Para j=2: eliminar linha 2 coluna 2 fica\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},então M_{22}=1\cdot1-0\cdot0=1. Como C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=+1\cdot1=1.
Para j=3: eliminar linha 2 coluna 3 fica\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix},então M_{23}=1\cdot(-2)-1\cdot0=-2. Como C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-1\cdot(-2)=2.
Linha i=3:
Para j=1: eliminar linha 3 coluna 1 fica\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix},então M_{31}=1\cdot(-1)-0\cdot1=-1. Como C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=+1\cdot(-1)=-1.
Para j=2: eliminar linha 3 coluna 2 fica\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}(os elementos são colunas 1 e 3 das duas primeiras linhas), então M_{32}=-1 também. Como C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-1\cdot(-1)=1.
Para j=3: eliminar linha 3 coluna 3 fica\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},então M_{33}=1\cdot1-1\cdot1=0. Como C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=+1\cdot0=0.
Breve verificação (opcional, mas boa para confiar no resultado): multiplicando B por B^{-1} espera-se a identidade. Faço uma verificação rápida do primeiro elemento (1,1) de B B^{-1}:
Isso confere; verificações parecidas dão os outros elementos da matriz identidade 3\times3. (A verificação completa é direta multiplicação de matrizes.)]