Considere a matriz
A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 8 & -4 & 2 \\\\ 0 & 3 & 7 & -3 \\\\ 0 & 0 & 2 & 9 \\\\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}\right)
Determine o determinante das matrizes A, A^{-1}, 2025 A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz A superior triangular de ordem 4:
A=\begin{pmatrix} 1 & 8 & -4 & 2 \\[6pt] 0 & 3 & 7 & -3 \\[6pt] 0 & 0 & 2 & 9 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}.
Vamos usar que, para matriz triangular, \det(A) é o produto dos elementos da diagonal principal. Além disso, usaremos as propriedades
\det(A^{-1}) = \frac1{\det(A)}, \quad \det(\lambda A) = \lambda^n\,\det(A)\quad(\lambda\in\mathbb{R},\\ n=\text{ordem da matriz}).]

Passo 2

Como A é triangular de ordem 4, temos
\det(A)=1\cdot 3\cdot 2\cdot 5.
Logo,
\det(A)=30.

Passo 3

Pela propriedade do determinante da inversa,
\det(A^{-1})=\frac1{\det(A)}=\frac1{30}.

Passo 4

Para a matriz 2025A, como a ordem é 4,
\det(2025A)=2025^4\,\det(A).
Calculando 2025^2=4\,100\,625 e depois
2025^4=(2025^2)^2=4\,100\,625^2=16\,815\,125\,390\,625,
obtemos
\det(2025A)=16\,815\,125\,390\,625\;\times 30 =504\,453\,761\,718\,750.

Resposta

\det(A)=30
\det(A^{-1})=\tfrac1{30}
\det(2025A)=504\,453\,761\,718\,750

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