Calcule a matriz fundamental phi(t) do sistema X^prime=[cc-1 & 1 8 & 1] X

Passo 1

Temos o sistema X'=AX, onde
A=-1 & 18 & 1
O que queremos encontrar é a matriz fundamental phi(t)=e^At. Vamos usar diagonalização de A e a definição de exponencial de matriz.

Passo 2

Calculamos o polinômico característico de A. O traço é tr(A)=-1+1=0 e o determinante é det(A)=-1cdot1-1cdot8=-9. Logo
lambda^2-tr(A)lambda+det(A)=lambda^2-9=0,
cuja solução dá os autovalores.

Passo 3

Resolvendo lambda^2-9=0, obtemos os autovalores
lambda1=3, lambda2=-3

Passo 4

Para cada autovalor, achamos um autovetor não nulo:
Para lambda1=3, resolvemos
(A-3I)v=0implies-4 & 18 & -2v=0
que leva a v^(1)=(1,4)^T.
Para lambda2=-3, resolvemos
(A+3I)v=0implies2 & 18 & 4v=0
que leva a v^(2)=(1,-2)^T.

Passo 5

Formamos a matriz de passagem e a diagonal:
P=1 & 14 & -2, D=diag(3,-3)
Calculamos o inverso de P pela fórmula de matriz 2times2:
det(P)=-6, P^-1=1-6-2 & -1-4 & 1

Passo 6

Usamos a definição de exponencial de matriz:
phi(t)=e^At=P,e^Dt,P^-1, e^Dt=e^3t & 00 & e^-3t
Basta então multiplicar P, e^Dt e P^-1 e organizar os termos em e^3t e e^-3t.

Resposta

A matriz fundamental é
phi(t)=e^At= e^3t+2e^-3t3 & e^3t-e^-3t6 4,(e^3t-e^-3t)3 & 2e^3t+e^-3t3

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