Resolva o PVI lX^prime=[ccc1 & -2 & 2 -2 & 1 & -2 2 & -2 & 1] X X(0)=[c-2 -3 2].

Passo 1

Neste exercício a gente tem um PVI de sistema linear de primeira ordem com coeficientes constantes. O enunciado é resolver:
X' = 1 & -2 & 2 -2 & 1 & -2 2 & -2 & 1X, X(0)=-2 -3 2
O conteúdo principal aqui é resolver X'=AX por diagonalização: vamos precisar achar autovalores e autovetores de A, montar a solução geral e ajustar as constantes usando a condição inicial.

Passo 2

Para achar os autovalores, calculamos o polinômio característico det(A-lambda I)=0. Segue o cálculo:
det(A-lambda I)=det1-lambda & -2 & 2 -2 & 1-lambda & -2 2 & -2 & 1-lambda=0
Simplificando dá
lambda^3 -3lambda^2 -9lambda -5 =0,
e fatorando vem
(lambda-5)(lambda+1)^2=0
Então os autovalores são lambda1=5 e lambda2=lambda3=-1.

Passo 3

Agora a gente encontra os autovetores:
Para lambda=5 resolvemos (A-5I)v=0 e obtemos
v1=1-11
Para lambda=-1 resolvemos (A+I)v=0, que leva à condição x - y + z=0 e gera o espaço próprio de dimensão 2 com base
110, -101

Passo 4

A solução geral do sistema fica então:
X(t)=C1e^5t1-11+C2e^-t110+C3e^-t-101
Cada termo corresponde a um autovalor e ao seu autovetor.

Passo 5

Aplicando a condição inicial X(0)=(-2,-3,2)^T temos
C11-11+C2110+C3-101=-2-32
Isso gera o sistema
C1 + C2 - C3 = -2, - C1 + C2 = -3, C1 + C3 = 2
Resolvendo, encontramos C1=1, C2=-2 e C3=1.

Passo 6

Substituindo essas constantes na solução geral, vem
X(t)=e^5t1-11-2e^-t110+e^-t-101 = e^5t1-11+e^-t-3-21

Resposta

X(t)= e^5t-3e^-t - e^5t-2e^-t e^5t+e^-t

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