Use a transformada de Laplace para determinar a solução do problema de valor inicial
y^prime prime+6 y^prime+13 y=-2 e^-3 t sin (2 t), y(0)=-2, y^prime(0)=-3
Assinale a alternativa que corresponda a solução correta do PVI acima, calculada em t=1, obtida via transformada de Laplace.
a y(1)=e^-3(4 cos (2)-74 sin (2)).
e y(1)=e^-3(4 cos (2)-194 sin (2)).
b y(1)=e^-3(6 cos (2)-194 sin (2)).
f y(1)=e^-3(6 cos (2)-74 sin (2)).
square y(1)=e^-3(-32 cos (2)-194 sin (2)).
g y(1)=e^-3(-72 cos (2)-194 sin (2)).
d y(1)=e^-3(-32 cos (2)-74 sin (2)).
h y(1)=e^-3(-72 cos (2)-74 sin (2)).

Passo 1

Temos o PVI y''+6y'+13y=-2e^-3tsin2t, com condições iniciais y(0)=-2 e y'(0)=-3. O conteúdo aqui é usar a transformada de Laplace e sua tabela de pares para resolver equações diferenciais lineares de 2ª ordem com termo forçante.

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados e usando L[y'] = sY(s)-y(0) e L[y''] = s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), obtemos
(s^2Y- s(-2)-(-3)) +6(sY-(-2)) +13Y = -2cdot 2(s+3)^2+4

Passo 3

Organizando e isolando Y(s), nota-se que s^2+6s+13=(s+3)^2+4. Assim chegamos a
Y(s) = -2s+15(s+3)^2+4;- rac4l((s+3)^2+4r)^2

Passo 4

Fazendo frações parciais e invertendo cada termo via tabela de Laplace, obtemos
y(t)=e^-3tl((-2+tfrac t2)cos2t -tfrac194sin2tr)

Passo 5

Por fim, avaliando em t=1:
y(1)=e^-3l(-tfrac32cos2 -tfrac194sin2r)

Resposta

y(1)=e^{-3}\Bigl(-\tfrac{3}{2}\cos2 -\tfrac{19}{4}\sin2\Bigr)

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