A é o conjunto do plano limitado pelas retas x=-1, x=2, y=0 e pelo gráfico de y=x^2+2 x+5.

Passo 1

Temos o conjunto A limitado pelas retas x=-1, x=2, y=0 e pela curva y=x^2+2x+5. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de áreas de regiões planas usando integrais definidas e precisamos usar a fórmula para a área entre duas curvas.

Passo 2

Para descrever a região A, notamos que em xin[-1,2] a parábola y=x^2+2x+5 está sempre acima do eixo y=0 (seu valor mínimo é 4 em x=-1). Então A é dada por x variando de -1 a 2 e y variando de 0 até x^2+2x+5.

Passo 3

Montamos a integral de área como a diferença entre a função superior f(x)=x^2+2x+5 e a inferior g(x)=0:
$$\nA = \int_{-1}^{2} \bigl(x^2 + 2x + 5\bigr),dx
$$

Passo 4

Calculamos essa integral e avaliamos nos limites de -1 a 2:

Resposta

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