Calcule a matriz indicada (se possível).
Sejam
\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{rr} 3 & 0 \\\\ -1 & 5 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rrr} 4 & -2 & 1 \\\\ 0 & 2 & 3 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \\\\ 5 & 6 \end{array}\right] \\\ D=\left[\begin{array}{rr} 0 & -3 \\\\ -2 & 1 \end{array}\right], \quad E=\left[\begin{array}{ll} 4 & 2 \end{array}\right], \quad F=\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 2 \end{array}\right] \end{gathered}
  1. B D

Passo 1

O enunciado pede para calcular a matriz BD. As matrizes fornecidas relevantes são:
B=\begin{bmatrix}4 & -2 & 1\\[4pt]0 & 2 & 3\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}0 & -3\\[4pt]-2 & 1\end{bmatrix}.
Anotei também as dimensões visíveis nas matrizes: cada linha e coluna que aparece nas matrizes.]

Passo 2

Vamos determinar as dimensões (número de linhas e colunas) de B e D. Para uma matriz, escrevemos sua dimensão como \text{linhas}\times\text{colunas}.
  • A matriz B tem duas linhas e, olhando para uma linha, há três entradas ( 4,-2,1). Logo \,B é \,2\times3.
  • A matriz D tem duas linhas e duas colunas, logo D é \,2\times2.
Em TeX:
B\\ \text{é}\\ \,2\times3,\qquad D\\ \text{é}\\ \,2\times2.éé

Passo 3

Regra de conformabilidade (quando a multiplicação está definida) e fórmula do produto:
  • Se X é uma matriz de dimensão \,m\times n e Y é de dimensão \,p\times q, então o produto XY só está definido quando n=p. Nesse caso o resultado XY tem dimensão \,m\times q.
  • A fórmula para os elementos do produto, quando definido, é
( XY )_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj},
onde X_{ik} é o elemento da i-ésima linha e k-ésima coluna de X, e Y_{kj} é o elemento da k-ésima linha e j-ésima coluna de Y.

Passo 4

Aplique a regra a B e D:
  • Para B (que é \,2\times3) temos m=2 e n=3.
  • Para D (que é \,2\times2) temos p=2 e q=2.
    Então os números relevantes são n=3 (colunas de B) e p=2 (linhas de D). Observamos que
n=3\quad\text{e}\quad p=2,\quad\text{portanto}\quad n\neq p.

Passo 5

Como n\neq p, a condição de conformabilidade para o produto BD falha (não se pode aplicar a soma \sum_{k=1}^{n} B_{ik}D_{kj} porque os comprimentos não batem). Para ajudar a entender na prática como se faz a multiplicação quando as dimensões permitem, eu vou calcular a multiplicação na ordem oposta, DB, que está definida (pois D é 2\times2 e B é 2\times3, então as dimensões internas coincidem: 2=2). Isso é só um exemplo didático de como se calculam as entradas usando a fórmula do passo anterior.
Calculo de DB (aqui D é 2\times2 e B é 2\times3, então o resultado será 2\times3 cujas entradas são (DB)_{ij}=\sum_{k=1}^{2} D_{ik}B_{kj}):
  • Primeiro, escrevo D e B novamente:
D=\begin{bmatrix}0 & -3\\[4pt]-2 & 1\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}4 & -2 & 1\\[4pt]0 & 2 & 3\end{bmatrix}.
  • Cálculo das entradas linha a linha:
Linha 1 de D vezes colunas de B:
(DB)_{11}=D_{11}B_{11}+D_{12}B_{21}=0\cdot4+(-3)\cdot0=0,
(DB)_{12}=D_{11}B_{12}+D_{12}B_{22}=0\cdot(-2)+(-3)\cdot2=-6,
(DB)_{13}=D_{11}B_{13}+D_{12}B_{23}=0\cdot1+(-3)\cdot3=-9.
Linha 2 de D vezes colunas de B:
(DB)_{21}=D_{21}B_{11}+D_{22}B_{21}=(-2)\cdot4+1\cdot0=-8,
(DB)_{22}=D_{21}B_{12}+D_{22}B_{22}=(-2)\cdot(-2)+1\cdot2=4+2=6,
(DB)_{23}=D_{21}B_{13}+D_{22}B_{23}=(-2)\cdot1+1\cdot3=-2+3=1.
  • Montando a matriz resultado:
DB=\begin{bmatrix}0 & -6 & -9\\[4pt]-8 & 6 & 1\end{bmatrix}.
Este cálculo serviu só para mostrar o procedimento da multiplicação de matrizes quando as dimensões permitem.]

Resposta

O produto BD não está definido.

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