Calcule a matriz indicada (se possível).
Sejam
\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{rr} 3 & 0 \\\\ -1 & 5 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rrr} 4 & -2 & 1 \\\\ 0 & 2 & 3 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \\\\ 5 & 6 \end{array}\right] \\\ D=\left[\begin{array}{rr} 0 & -3 \\\\ -2 & 1 \end{array}\right], \quad E=\left[\begin{array}{ll} 4 & 2 \end{array}\right], \quad F=\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 2 \end{array}\right] \end{gathered}
  1. B B^{T}

Passo 1

O enunciado pede para calcular B B^{T}. Peguei a matriz B do enunciado:
B=\left[\begin{array}{rrr} 4 & -2 & 1 \\\\ 0 & 2 & 3 \end{array}\right].

Passo 2

Antes de calcular, vamos verificar dimensões e a fórmula que vamos usar. A matriz B tem dimensão 2\times3. A transposta B^{T} tem dimensão 3\times2. Como o número de colunas de B ( 3) é igual ao número de linhas de B^{T} ( 3), o produto B B^{T} existe e terá dimensão 2\times2.
A regra geral para multiplicação de matrizes diz que, para matrizes compatíveis, o elemento (i,j) do produto é a soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha i da primeira com a coluna j da segunda. No nosso caso, como a segunda é a transposta de B, uma forma conveniente é usar o produto escalar entre linhas de B:
(B B^{T})_{ij}=\sum_{k=1}^{3} b_{ik}\,b_{jk},
onde b_{ik} é o elemento da linha i e coluna k de B. Isso significa: o elemento (i,j) é o produto escalar da linha i de B com a linha j de B.

Passo 3

Escrevemos as linhas de B para facilitar os cálculos:
r_1=(4,\,-2,\,1),\qquad r_2=(0,\,2,\,3).

Passo 4

Calculamos o elemento (1,1), que é o produto escalar de r_1 com r_1:
(B B^{T})_{11}=4\cdot4+(-2)\cdot(-2)+1\cdot1=16+4+1=21.

Passo 5

Calculamos o elemento (1,2), que é o produto escalar de r_1 com r_2:
(B B^{T})_{12}=4\cdot0+(-2)\cdot2+1\cdot3=0-4+3=-1.
Pela simetria do produto B B^{T} (produto de uma matriz por sua transposta é sempre simétrico), temos
(B B^{T})_{21}=(B B^{T})_{12}=-1.

Passo 6

Calculamos o elemento (2,2), que é o produto escalar de r_2 com r_2:
(B B^{T})_{22}=0\cdot0+2\cdot2+3\cdot3=0+4+9=13.

Passo 7

Montamos a matriz resultado com os elementos calculados:
B B^{T}=\left[\begin{array}{rr} 21 & -1 \\\\ -1 & 13 \end{array}\right].

Resposta

\left[\begin{array}{rr} 21 & -1 \\\\ -1 & 13 \end{array}\right]

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