Dada as equações, determinar \frac{d y}{d x}, a derivada de y em relação a x.
\operatorname{sen} \frac{x}{y}=\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita entre x e y:
\operatorname{sen}\!\frac{x}{y}=\frac{1}{2}.
O que se pede: determinar \dfrac{d y}{d x}, ou seja, a derivada de y em relação a x, supondo que y é função de x (ou seja, y=y(x)).
Informações relevantes: a igualdade vale para pontos (x,y) que satisfazem a equação acima; a função seno aplicada a \dfrac{x}{y} é constante igual a \dfrac{1}{2}.

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Ao diferenciar, usamos a regra da cadeia: a derivada de \sin(u) em relação a x é \cos(u)\cdot u', onde u depende de x. Aplicando isso a u=\dfrac{x}{y}, obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\operatorname{sen}\!\frac{x}{y}\right) =\cos\!\left(\frac{x}{y}\right)\cdot\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{y}\right).
Como o lado direito da equação original é \dfrac{1}{2}, que é constante, sua derivada é 0. Portanto
\cos\!\left(\frac{x}{y}\right)\cdot\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{y}\right)=0.

Passo 3

Agora calculamos \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x}{y}\right). Aqui usamos a regra do quociente: se u(x)=x e v(x)=y(x), então
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\cdot u' - u\cdot v'}{v^2}.
No nosso caso, u'=1 e v'=y' (onde y'=\dfrac{dy}{dx}). Assim
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{y\cdot 1 - x\cdot y'}{y^2}=\frac{y - x y'}{y^2}.

Passo 4

Substituindo essa expressão na derivada encontrada no Passo 2, obtemos
\cos\!\left(\frac{x}{y}\right)\cdot\frac{y - x y'}{y^2}=0.

Passo 5

Para isolar y' precisamos dividir por fatores não nulos. Note que, pela equação inicial \operatorname{sen}\!\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{2}, sabemos que
\cos\!\left(\frac{x}{y}\right)=\pm\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2},
ou seja, \cos\!\left(\dfrac{x}{y}\right)\neq 0. Portanto podemos dividir ambos os lados da igualdade do Passo 4 por \cos\!\left(\dfrac{x}{y}\right) e por y^{-2} (assumindo y\neq 0, caso contrário \dfrac{x}{y} não estaria bem definida). Fazendo isso sobra
y - x y' = 0.

Passo 6

Resolvendo para y',
y'=\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}.
Uma forma alternativa, rápida para entender: da equação \operatorname{sen}\!\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{2} segue que \dfrac{x}{y} é localmente uma constante (um dos valores cujos seno é \tfrac12), então y é proporcional a x e a razão \dfrac{y}{x} é a constante de proporcionalidade — o que leva ao mesmo resultado y'=\dfrac{y}{x}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}

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