Dada as equações, determinar
, a derivada de
em relação a
.
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita entre
e
:
O que se pede: determinar
, ou seja, a derivada de
em relação a
, supondo que
é função de
(ou seja,
).
Informações relevantes: a igualdade vale para pontos que satisfazem a equação acima; a função seno aplicada a
é constante igual a
.
Informações relevantes: a igualdade vale para pontos
Passo 2
Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Ao diferenciar, usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
, onde
depende de
. Aplicando isso a
, obtemos
Como o lado direito da equação original é
, que é constante, sua derivada é
. Portanto
Passo 3
Agora calculamos
. Aqui usamos a regra do quociente: se
e
, então
No nosso caso,
e
(onde
). Assim
Passo 4
Substituindo essa expressão na derivada encontrada no Passo 2, obtemos
Passo 5
Para isolar
precisamos dividir por fatores não nulos. Note que, pela equação inicial
, sabemos que
ou seja,
. Portanto podemos dividir ambos os lados da igualdade do Passo 4 por
e por
(assumindo
, caso contrário
não estaria bem definida). Fazendo isso sobra
Passo 6
Resolvendo para
,
Uma forma alternativa, rápida para entender: da equação
segue que
é localmente uma constante (um dos valores cujos seno é
), então
é proporcional a
e a razão
é a constante de proporcionalidade — o que leva ao mesmo resultado
.