Em cada um dos itens a seguir, ache a matriz A=\left[a_{i j}\right] de ordem 4 \times 4 que satisfaz a condição dada:
(a) a_{i j}=(-1)^{i+j}
Passo 1
O enunciado pede: achar a matriz A=\left[a_{ij}\right] de ordem 4\times4 tal que, para todo i,j com 1\le i,j\le4, vale
a_{ij}=(-1)^{i+j}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{ordem da matriz: }4\times4,
\text{fórmula para cada entrada: }a_{ij}=(-1)^{i+j},
\text{índices }i,j\in\{1,2,3,4\}.
Passo 2
Vamos entender o que significa (-1)^{i+j}\). A regra básica é:
\[(-1)^{k}=\begin{cases} +1, & \text{se }k\text{ for par},\\[4pt] -1, & \text{se }k\text{ for ímpar}. \end{cases}
Então, para cada par (i,j)\] precisamos ver se \(i+j é par ou ímpar. Se i+j for par, então a_{ij}=+1; se i+j for ímpar, então a_{ij}=-1.]
Passo 3
Uma observação útil sobre paridade do somatório: i+j é par exatamente quando i e j têm a mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares). i+j é ímpar quando i e j têm paridades diferentes. Isso ajuda a prever padrões por linhas/colunas.
Passo 4
Calculando a primeira linha (i=1). Para cada coluna j:
então A=v\,v^{T}. Ou seja, A é a matriz produto externo do vetor v por si mesmo (é uma matriz de posto 1). Isso é um atalho elegante para reconhecer a forma da matriz sem calcular entrada a entrada.]