Em cada um dos itens a seguir, ache a matriz A=\left[a_{i j}\right] de ordem 4 \times 4 que satisfaz a condição dada:
(a) a_{i j}=(-1)^{i+j}

Passo 1

O enunciado pede: achar a matriz A=\left[a_{ij}\right] de ordem 4\times4 tal que, para todo i,j com 1\le i,j\le4, vale
a_{ij}=(-1)^{i+j}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{ordem da matriz: }4\times4,
\text{fórmula para cada entrada: }a_{ij}=(-1)^{i+j},ó
\text{índices }i,j\in\{1,2,3,4\}.í

Passo 2

Vamos entender o que significa (-1)^{i+j}\). A regra básica é: \[(-1)^{k}=\begin{cases} +1, & \text{se }k\text{ for par},\\[4pt] -1, & \text{se }k\text{ for ímpar}. \end{cases}
Então, para cada par (i,j)\] precisamos ver se \(i+j é par ou ímpar. Se i+j for par, então a_{ij}=+1; se i+j for ímpar, então a_{ij}=-1.]

Passo 3

Uma observação útil sobre paridade do somatório: i+j é par exatamente quando i e j têm a mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares). i+j é ímpar quando i e j têm paridades diferentes. Isso ajuda a prever padrões por linhas/colunas.

Passo 4

Calculando a primeira linha ( i=1). Para cada coluna j:
\begin{aligned} j=1:\; & i+j=1+1=2\\ (\text{par}) \Rightarrow a_{11}=+1,\\[4pt] j=2:\; & i+j=1+2=3\\ (\text{ímpar}) \Rightarrow a_{12}=-1,\\[4pt] j=3:\; & i+j=1+3=4\\ (\text{par}) \Rightarrow a_{13}=+1,\\[4pt] j=4:\; & i+j=1+4=5\\ (\text{ímpar}) \Rightarrow a_{14}=-1. \end{aligned}íí
Logo, primeira linha: \bigl[\,+1,\;-1,\;+1,\;-1\,\bigr].]

Passo 5

Calculando a segunda linha ( i=2):
\begin{aligned} j=1:\; & 2+1=3\\ (\text{ímpar}) \Rightarrow a_{21}=-1,\\[4pt] j=2:\; & 2+2=4\\ (\text{par}) \Rightarrow a_{22}=+1,\\[4pt] j=3:\; & 2+3=5\\ (\text{ímpar}) \Rightarrow a_{23}=-1,\\[4pt] j=4:\; & 2+4=6\\ (\text{par}) \Rightarrow a_{24}=+1. \end{aligned}íí
Segunda linha: \bigl[\, -1,\; +1,\; -1,\; +1\,\bigr].]

Passo 6

Calculando a terceira linha ( i=3):
\begin{aligned} j=1:\; & 3+1=4\\ (\text{par}) \Rightarrow a_{31}=+1,\\[4pt] j=2:\; & 3+2=5\\ (\text{ímpar}) \Rightarrow a_{32}=-1,\\[4pt] j=3:\; & 3+3=6\\ (\text{par}) \Rightarrow a_{33}=+1,\\[4pt] j=4:\; & 3+4=7\\ (\text{ímpar}) \Rightarrow a_{34}=-1. \end{aligned}íí
Terceira linha: \bigl[\, +1,\; -1,\; +1,\; -1\,\bigr].]

Passo 7

Calculando a quarta linha ( i=4):
\begin{aligned} j=1:\; & 4+1=5\\ (\text{ímpar}) \Rightarrow a_{41}=-1,\\[4pt] j=2:\; & 4+2=6\\ (\text{par}) \Rightarrow a_{42}=+1,\\[4pt] j=3:\; & 4+3=7\\ (\text{ímpar}) \Rightarrow a_{43}=-1,\\[4pt] j=4:\; & 4+4=8\\ (\text{par}) \Rightarrow a_{44}=+1. \end{aligned}íí
Quarta linha: \bigl[\, -1,\; +1,\; -1,\; +1\,\bigr].]

Passo 8

Montando a matriz A com as quatro linhas obtidas:
A=\begin{pmatrix} +1 & -1 & +1 & -1\\[4pt] -1 & +1 & -1 & +1\\[4pt] +1 & -1 & +1 & -1\\[4pt] -1 & +1 & -1 & +1 \end{pmatrix}.]

Passo 9

Um comentário útil para prova: note que (-1)^{i+j}=(-1)^i(-1)^j. Se definirmos o vetor coluna
v=\begin{pmatrix}(-1)^1\\[2pt](-1)^2\\[2pt](-1)^3\\[2pt](-1)^4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\[2pt]+1\\[2pt]-1\\[2pt]+1\end{pmatrix},
então A=v\,v^{T}. Ou seja, A é a matriz produto externo do vetor v por si mesmo (é uma matriz de posto 1). Isso é um atalho elegante para reconhecer a forma da matriz sem calcular entrada a entrada.]

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}]

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