(2,0) Calcule a matriz inversa da matriz A, se existir, se não existir justifique:
A=[ccc 1 & 0 & -2 2 & -2 & -2 -3 & 0 & 2 ]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A= 1 & 0 & -2 2 & -2 & -2 -3 & 0 & 2
O conteúdo é determinante e matriz adjunta: primeiro verificamos se det(A)neq0 (caso em que A é invertível) e, em seguida, usamos
A^-1=1det(A),adj(A),
onde adj(A) é a transposta da matriz de cofatores.

Passo 2

Calculamos det(A) expandindo pela primeira linha:
det(A) =1cdotdet-2&-20&2 -0cdot(cdots) +(-2)cdotdet2&-2-3&0
Temos
det-2&-20&2 =-2cdot2-(-2)cdot0=-4, det2&-2-3&0 =2cdot0-(-2)(-3)=-6
Logo
det(A)=1cdot(-4)+(-2)cdot(-6)=-4+12=8neq0,
portanto A é invertível.

Passo 3

Para montar a matriz de cofatores, calculamos os menores Mij (determinantes das submatrizes ao remover linha i e coluna j) e aplicamos
Cij=(-1)^i+jMij
Os menores são
M11=-4,;M12=-2,;M13=-6,
M21=0,;M22=-4,;M23=0,
M31=-4,;M32=2,;M33=-2
Aplicando o sinal (-1)^i+j, obtemos a matriz de cofatores
C= -4 & 2 & -6 0 & -4 & 0 -4 & -2 & -2

Passo 4

A adjunta é a transposta de C:
adj(A)=C^T = -4 & 0 & -4 2 & -4 & -2 -6 & 0 & -2
Portanto
A^-1 =18 -4 & 0 & -4 2 & -4 & -2 -6 & 0 & -2 = -tfrac12 & 0 & -tfrac12 tfrac14 & -tfrac12 & -tfrac14 -tfrac34 & 0 & -tfrac14

Resposta

A^-1 = -tfrac12 & 0 & -tfrac12 tfrac14 & -tfrac12 & -tfrac14 -tfrac34 & 0 & -tfrac14

Exercícios relacionados