Sejam os pontos A=(1,2,3) e B(2,1,4). Considere o plano pi que satisfaz simultaneamente as seguintes condições:
i) Contém a reta r que passa pelos pontos A e B
ii) É paralelo à reta s, dada por (x, y, z)=(1,1,1)+t(1,2,-1)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano pi que contém a reta r definida pelos pontos
A=(1,2,3), B=(2,1,4)
e é paralelo à reta
s:;(x,y,z) = (1,1,1) + t,(1,2,-1)
O conteúdo envolve geometria no espaço: identificamos vetores diretores, usamos produto vetorial para obter o normal ao plano e, em seguida, escrevemos a equação.

Passo 2

Obtemos o vetor diretor de r subtraindo as coordenadas de A e B:
vr = B - A = (2-1,;1-2,;4-3) = (1,-1,1)
O vetor diretor de s é dado por
vs = (1,2,-1)
Como pi é paralelo a s, o vetor vs também deve estar contido em pi.

Passo 3

O vetor normal n ao plano é perpendicular a quaisquer dois vetores no plano. Logo,
n = vr times vs = (1,-1,1)times(1,2,-1) = (-1,2,3)

Passo 4

A equação do plano usando o ponto A e o normal n é
ncdotl((x,y,z)-Ar)=0
Substituindo n=(-1,2,3) e A=(1,2,3):
(-1,2,3)cdot(x-1,y-2,z-3)=0
-1(x-1)+2(y-2)+3(z-3)=0
-,x+1+2y-4+3z-9=0
-,x+2y+3z-12=0
Multiplicando por -1:
x-2y-3z+12=0

Resposta

A equação do plano pi é
x-2y-3z+12=0

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