Calcule a matriz inversa usando determinante
B=[rrr -3 & 4 & -5 0 & 1 & 2 3 & -5 & 4 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a matriz inversa da matriz B usando o determinante. Para isso, vamos precisar entender como encontrar o determinante de uma matriz 3x3 e depois usar esse valor para encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz B:
B = -3 & 4 & -5 0 & 1 & 2 3 & -5 & 4

Passo 3

Vamos começar calculando o determinante de B. Para uma matriz 3x3, o determinante é dado por:
det(B) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde os elementos da matriz são:
a & b & c d & e & f g & h & i
No nosso caso:
  • a = -3
  • b = 4
  • c = -5
  • d = 0
  • e = 1
  • f = 2
  • g = 3
  • h = -5
  • i = 4

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula do determinante:
det(B) = (-3)(1 cdot 4 - 2 cdot (-5)) - 4(0 cdot 4 - 2 cdot 3) + (-5)(0 cdot (-5) - 1 cdot 3)
Vamos calcular cada parte:
  1. 1 cdot 4 = 4
  2. 2 cdot (-5) = -10
  3. 1 cdot 4 - 2 cdot (-5) = 4 + 10 = 14
  4. 0 cdot 4 = 0
  5. 2 cdot 3 = 6
  6. 0 cdot 4 - 2 cdot 3 = 0 - 6 = -6
  7. 0 cdot (-5) = 0
  8. 1 cdot 3 = 3
  9. 0 cdot (-5) - 1 cdot 3 = 0 - 3 = -3
Agora substituindo de volta:
det(B) = (-3)(14) - 4(-6) + (-5)(-3) = -42 + 24 + 15 = -3

Passo 5

Agora que temos o determinante, que é -3, vamos seguir para encontrar a matriz adjunta de B. A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores.

Passo 6

Primeiro, vamos encontrar os cofatores de cada elemento da matriz B. O cofator de um elemento é dado por (-1)^i+j vezes o determinante do menor que sobra quando removemos a linha i e a coluna j do elemento.
Vamos calcular cada cofator:
  • Cofator C11:
    Removendo a 1ª linha e 1ª coluna:
1 & 2 -5 & 4
Determinante: 1 cdot 4 - 2 cdot (-5) = 4 + 10 = 14
Cofator: (-1)^1+1 cdot 14 = 1 cdot 14 = 14
  • Cofator C12:
    Removendo a 1ª linha e 2ª coluna:
0 & 2 3 & 4
Determinante: 0 cdot 4 - 2 cdot 3 = 0 - 6 = -6
Cofator: (-1)^1+2 cdot (-6) = -1 cdot (-6) = 6
  • Cofator C13:
    Removendo a 1ª linha e 3ª coluna:
0 & 1 3 & -5
Determinante: 0 cdot (-5) - 1 cdot 3 = 0 - 3 = -3
Cofator: (-1)^1+3 cdot (-3) = 1 cdot (-3) = -3
  • Cofator C21:
    Removendo a 2ª linha e 1ª coluna:
4 & -5 -5 & 4
Determinante: 4 cdot 4 - (-5) cdot (-5) = 16 - 25 = -9
Cofator: (-1)^2+1 cdot (-9) = -1 cdot (-9) = 9
  • Cofator C22:
    Removendo a 2ª linha e 2ª coluna:
-3 & -5 3 & 4
Determinante: -3 cdot 4 - (-5) cdot 3 = -12 + 15 = 3
Cofator: (-1)^2+2 cdot 3 = 1 cdot 3 = 3
  • Cofator C23:
    Removendo a 2ª linha e 3ª coluna:
-3 & 4 3 & -5
Determinante: -3 cdot (-5) - 4 cdot 3 = 15 - 12 = 3
Cofator: (-1)^2+3 cdot 3 = -1 cdot 3 = -3
  • Cofator C31:
    Removendo a 3ª linha e 1ª coluna:
4 & -5 1 & 2
Determinante: 4 cdot 2 - (-5) cdot 1 = 8 + 5 = 13
Cofator: (-1)^3+1 cdot 13 = 1 cdot 13 = 13
  • Cofator C32:
    Removendo a 3ª linha e 2ª coluna:
-3 & -5 0 & 2
Determinante: -3 cdot 2 - (-5) cdot 0 = -6 - 0 = -6
Cofator: (-1)^3+2 cdot (-6) = -1 cdot (-6) = 6
  • Cofator C33:
    Removendo a 3ª linha e 3ª coluna:
-3 & 4 0 & 1
Determinante: -3 cdot 1 - 4 cdot 0 = -3 - 0 = -3
Cofator: (-1)^3+3 cdot (-3) = 1 cdot (-3) = -3

Passo 7

Agora, organizamos os cofatores na matriz de cofatores:
Cofatores = 14 & 6 & -3 9 & 3 & -3 13 & 6 & -3

Passo 8

A próxima etapa é transpor a matriz de cofatores para obter a matriz adjunta:
Adjunta = 14 & 9 & 13 6 & 3 & 6 -3 & -3 & -3

Passo 9

Agora, para encontrar a matriz inversa de B, usamos a fórmula:
B^-1 = 1det(B) times Adjunta
Sabemos que det(B) = -3, então:
B^-1 = 1-3 times 14 & 9 & 13 6 & 3 & 6 -3 & -3 & -3 = -143 & -3 & -133 -2 & -1 & -2 1 & 1 & 1

Resposta

A matriz inversa de B é:
B^-1 = -dfrac143 & -3 & -dfrac133 -2 & -1 & -2 1 & 1 & 1

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