Calcule a matriz resultante das operações elementares que levam
\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{array}\right)
à forma escalonada.

Passo 1

O enunciado dá a matriz inicial e pede que se calcule a matriz resultante após aplicar operações elementares até chegar à forma escalonada. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}.
O que vamos entregar no final é a matriz obtida depois de aplicar operações elementares por linhas que levem A à forma escalonada.]

Passo 2

Rápido lembrete prático sobre o que são operações elementares de linha (essas são as que podemos usar):
  • trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j;
  • multiplicar uma linha por um escalar não nulo: R_i \leftarrow \lambda R_i, com \lambda \neq 0;
  • somar a uma linha um múltiplo de outra: R_i \leftarrow R_i + \mu R_j.
Uma matriz está em forma escalonada por linhas (row-echelon) quando cada linha não nula tem mais zeros à esquerda do que a linha anterior — em palavras: cada pivô fica à direita do pivô da linha acima, e abaixo de cada pivô só há zeros. Nosso objetivo é zerar o elemento abaixo do pivô 1 na primeira coluna, isto é, tornar o elemento 3 (posição (2,1)) igual a 0.

Passo 3

Escolhemos a operação que zera o 3 em (2,1): usar a primeira linha para eliminar a segunda. A operação é
R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1.
Essa é uma operação do tipo “somar um múltiplo de uma linha a outra” com \mu=-3.

Passo 4

Cada operação de linha pode ser representada por uma matriz elementar E tal que E A é a matriz após aplicar a operação. Para a operação R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1 a matriz elementar é obtida aplicando essa operação à identidade \,I_2. Assim,
I_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad E=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix}.
Explicação curta: a entrada -3 em (2,1) diz “subtrai 3 vezes a linha 1 da linha 2”.]

Passo 5

Agora calculamos o produto \,E A que dá a matriz depois da operação. Fazendo a multiplicação por linhas e colunas:
E A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 0\cdot 3 & 1\cdot 2 + 0\cdot 4 \\[6pt] -3\cdot 1 + 1\cdot 3 & -3\cdot 2 + 1\cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\[4pt] 0 & -2 \end{pmatrix}.
Detalhe das contas da segunda linha: -3\cdot 1 + 3 = 0 e -3\cdot 2 + 4 = -6 + 4 = -2.]

Passo 6

A matriz \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix} está em forma escalonada por linhas: o pivô da primeira linha é 1 e abaixo dele já temos zero; a segunda linha tem um pivô em coluna à direita (ou seja, não há problema de posição). Se desejássemos a forma reduzida por linhas (RREF) poderíamos ainda multiplicar a segunda linha por -\tfrac{1}{2} para tornar o pivô igual a 1 e depois eliminar o 2 acima dele, mas isso não é necessário para obter a forma escalonada.]

Resposta

\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix}]

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