O enunciado dá a matriz inicial e pede que se calcule a matriz resultante após aplicar operações elementares até chegar à forma escalonada. A matriz dada é
O que vamos entregar no final é a matriz obtida depois de aplicar operações elementares por linhas que levem A à forma escalonada.]
Passo 2
Rápido lembrete prático sobre o que são operações elementares de linha (essas são as que podemos usar):
trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo: R_i \leftarrow \lambda R_i, com \lambda \neq 0;
somar a uma linha um múltiplo de outra: R_i \leftarrow R_i + \mu R_j.
Uma matriz está em forma escalonada por linhas (row-echelon) quando cada linha não nula tem mais zeros à esquerda do que a linha anterior — em palavras: cada pivô fica à direita do pivô da linha acima, e abaixo de cada pivô só há zeros. Nosso objetivo é zerar o elemento abaixo do pivô 1 na primeira coluna, isto é, tornar o elemento 3 (posição (2,1)) igual a 0.
Passo 3
Escolhemos a operação que zera o 3 em (2,1): usar a primeira linha para eliminar a segunda. A operação é
R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1.
Essa é uma operação do tipo “somar um múltiplo de uma linha a outra” com \mu=-3.
Passo 4
Cada operação de linha pode ser representada por uma matriz elementar E tal que E A é a matriz após aplicar a operação. Para a operação R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1 a matriz elementar é obtida aplicando essa operação à identidade \,I_2. Assim,
Detalhe das contas da segunda linha: -3\cdot 1 + 3 = 0 e -3\cdot 2 + 4 = -6 + 4 = -2.]
Passo 6
A matriz \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & -2\end{pmatrix} está em forma escalonada por linhas: o pivô da primeira linha é 1 e abaixo dele já temos zero; a segunda linha tem um pivô em coluna à direita (ou seja, não há problema de posição). Se desejássemos a forma reduzida por linhas (RREF) poderíamos ainda multiplicar a segunda linha por -\tfrac{1}{2} para tornar o pivô igual a 1 e depois eliminar o 2 acima dele, mas isso não é necessário para obter a forma escalonada.]