Resolva o sistema utilizando o método de escalonamento:
\left\{\begin{array}{l} 2 x+y-z=1 \\\\ 4 x+2 y-2 z=2 \\\\ -2 x-y+z=-1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 2x+y-z=1,\\[4pt] 4x+2y-2z=2,\\[4pt] -2x-y+z=-1, \end{array}\right.
e pede para resolvê‑lo pelo método de escalonamento.
Informações relevantes que temos:
  • São três equações e três incógnitas x,y,z.
  • Vou transformar o sistema numa forma escalonada (ou triangular) usando operações elementares sobre as linhas e, a partir daí, deduzir as soluções (se existirem).
  • Nada mais é fornecido no enunciado (nenhuma condição extra).]

Passo 2

O que é o método de escalonamento (explicação curta e didática):
  • Representa‑se o sistema na forma de matriz aumentada e aplica‑se operações elementares sobre as linhas que não mudam o conjunto de soluções: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar à uma linha um múltiplo de outra.
  • O objetivo é obter uma matriz em forma escalonada (linhas superiores com pivôs à esquerda das linhas inferiores).
  • Depois interpreta‑se a matriz escalonada como um novo sistema e resolve‑se por substituição ou parametrização, se houver infinitas soluções.

Passo 3

Escrevendo a matriz aumentada do sistema (peguei os coeficientes e termos independentes das equações do enunciado):
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 4 & 2 & -2 & 2\\[4pt] -2 & -1 & 1 & -1 \end{array}\right].]

Passo 4

Escolher o primeiro pivô na primeira linha, primeira coluna ( 2). Usarei operações para zerar as entradas abaixo desse pivô.
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Calculemos cada entrada:
    • 4 - 2\cdot 2 = 0,
    • 2 - 2\cdot 1 = 0,
    • -2 - 2\cdot(-1) = -2 + 2 = 0,
    • 2 - 2\cdot 1 = 0.
      Logo R_2 vira a linha [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0].
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 + R_1. Calculemos:
    • -2 + 2 = 0,
    • -1 + 1 = 0,
    • 1 + (-1) = 0,
    • -1 + 1 = 0.
      Logo R_3 também vira [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0].
Após essas operações a matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 5

Interpretação da matriz escalonada:
  • Só sobrou uma equação não nula, que corresponde à primeira linha: 2x + y - z = 1.
  • As outras duas linhas viraram 0=0, ou seja, não impõem novas restrições — isso indica que as equações eram linearmente dependentes entre si.
  • Conclusão teórica rápida: o posto (rank) da matriz dos coeficientes é 1 e o número de incógnitas é 3, logo há infinitas soluções com 3-1=2 graus de liberdade (duas variáveis livres).

Passo 6

Escolher variáveis livres e parametrizar (maneira prática para a prova):
  • Tomo y e z como parâmetros livres. Defina
    y = s,\qquad z = t,
    onde s,t\in\mathbb{R} são parâmetros reais (pode escolher outros nomes, como \lambda,\mu).
  • Da equação 2x+y-z=1 isolamos x:
    2x = 1 - y + z \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1 - y + z}{2}.
    Substituindo y=s e z=t:
    x = \frac{1 - s + t}{2}.

Passo 7

Escrever a solução em forma paramétrica e em forma vetorial (duas opções úteis na prova):
  • Forma paramétrica:
    (x,y,z)=\Bigl(\frac{1 - s + t}{2},\; s,\; t\Bigr),\qquad s,t\in\mathbb{R}.
  • Forma vetorial (separando a parte particular e os vetores associados aos parâmetros):
    \begin{aligned} (x,y,z) &= \left(\frac{1}{2},0,0\right) + s\left(-\frac{1}{2},1,0\right) + t\left(\frac{1}{2},0,1\right),\\[4pt] &\qquad s,t\in\mathbb{R}. \end{aligned}]

Resposta

(x,y,z)=\Bigl(\dfrac{1 - s + t}{2},\\ s,\\ t\Bigr),\qquad s,t\in\mathbb{R}

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