Dada a matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\\\ 2 & 4 & -2 \\\\ -1 & -2 & 1 \end{array}\right),
verifique se o sistema homogêneo A X=0 possui apenas a solução trivial ou infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\\\ 2 & 4 & -2 \\\\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}
e pede para verificar se o sistema homogêneo A X=0 tem apenas a solução trivial ou tem infinitas soluções.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz A é 3\times3.
  • O sistema homogêneo é A X=0, onde X=(x_1,x_2,x_3)^T é o vetor incógnita.
  • A pergunta é apenas sobre o número de soluções (trivial única ou infinitas) — se houver infinitas, é útil também obter a forma geral das soluções.

Passo 2

O que significa ter somente a solução trivial ou infinitas soluções (explicação didática):
  • O sistema homogêneo A X=0 sempre tem a solução trivial X=0 (todos os componentes zero).
  • Se as colunas de A são linearmente independentes (nenhuma coluna é combinação linear das outras), então a única solução é a trivial.
  • Se as colunas de A são linearmente dependentes, então existe um espaço de soluções não-trivial, tipicamente de dimensão maior que zero — ou seja, infinitas soluções.
  • Uma ferramenta direta é o posto (rank) de A: para uma matriz m\times n, a dimensão do espaço solução (nulidade) é \;n-\operatorname{rank}(A)\; (Teorema do posto-nulo). Aqui n=3. Se \operatorname{rank}(A)=3 então só a solução trivial; se \operatorname{rank}(A)<3 então há infinitas soluções.

Passo 3

Analisar linearmente as linhas/colunas de A (procura de dependência):
Escrevendo as linhas de A:
r_1=(1,2,-1),\qquad r_2=(2,4,-2),\qquad r_3=(-1,-2,1).
Verifica-se diretamente que
r_2=2\,r_1
pois 2\cdot(1,2,-1)=(2,4,-2), e
r_3=-1\cdot r_1
pois -1\cdot(1,2,-1)=(-1,-2,1). Portanto as três linhas são múltiplos umas das outras, ou seja, existe apenas uma linha linearmente independente.

Passo 4

Concluir o posto da matriz:
Como há apenas uma linha linearmente independente, o posto de A é
\operatorname{rank}(A)=1.
Pelo Teorema do posto-nulo (rank-nullity), para matriz 3\times3 vale
\dim(\ker A)=n-\operatorname{rank}(A)=3-1=2.
Isto significa que o espaço de soluções de A X=0 tem dimensão 2: há infinitas soluções, dependendo de dois parâmetros livres.

Passo 5

Encontrar a solução geral explicitamente (passo a passo):
Escrevendo o sistema A X=0 em equações escalares, da primeira linha obtemos
x_1+2x_2-x_3=0.
As outras duas equações são múltiplos desta (por causa da dependência das linhas), logo não adicionam restrições novas. Portanto temos uma única equação linear independente em três incógnitas, o que deixa duas variáveis livres.
Escolhemos parâmetros para as variáveis livres: defina x_2=s e x_3=t, com s,t\in\mathbb{R}. Da equação independente:
x_1 = -2x_2 + x_3 = -2s + t.

Passo 6

Escrever a solução em forma vetorial e verificar a interpretação:
A solução geral fica
X=\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2s+t\\\ s\\\ t\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, \qquad s,t\in\mathbb{R}.
Isso mostra claramente que o espaço de soluções é um subespaço de dimensão 2 (gerado pelos vetores \begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}), confirmando que existem infinitas soluções.

Resposta

Infinitas soluções. X=s\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\qquad s,t\in\mathbb{R}.

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