Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfaz: T(1,-2)=(1,2,3) e T(1,-1)=(2,2,2).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{21} da matriz A vale:
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2
(E) -1
(F) 0
(G) 1
(H) 2

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e fornece os valores de T em dois vetores:
  • T(1,-2)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{pmatrix}.
  • T(1,-1)=\begin{pmatrix}2\\[2pt]2\\[2pt]2\end{pmatrix}.
O que se pede:
  • Determinar a matriz A tal que T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}.
  • Em particular, encontrar a entrada a_{21} da matriz A (segunda linha, primeira coluna). As opções são (A) -5, (B) -4, (C) -3, (D) -2, (E) -1, (F) 0, (G) 1, (H) 2.]

Passo 2

Vamos representar a matriz A em termos das imagens dos vetores da base canônica. Se escrevemos as colunas de A como vetores em \mathbb{R}^3,
A=\begin{pmatrix}u_1 & v_1\\[2pt]u_2 & v_2\\[2pt]u_3 & v_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}u & v\end{pmatrix},
onde u=\begin{pmatrix}u_1\\[2pt]u_2\\[2pt]u_3\end{pmatrix}=T(1,0) e v=\begin{pmatrix}v_1\\[2pt]v_2\\[2pt]v_3\end{pmatrix}=T(0,1).
Explicando a ideia (passo-a-passo): qualquer vetor (x,y) em \mathbb{R}^2 pode ser escrito como x(1,0)+y(0,1). Pela linearidade de T, vale
T(x,y)=x\,T(1,0)+y\,T(0,1)=x\,u+y\,v,
e isso é exatamente a multiplicação A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}. Portanto, para achar A precisamos achar u e v.]

Passo 3

Agora expressamos as informações dadas em termos de u e v. Como (1,-2)=(1)\cdot(1,0)+(-2)\cdot(0,1), pela linearidade:
T(1,-2)=u-2v=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{pmatrix}.
De modo análogo,
T(1,-1)=u-v=\begin{pmatrix}2\\[2pt]2\\[2pt]2\end{pmatrix}.
Portanto temos o sistema de vetores
\begin{cases} u-2v=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{pmatrix},\\[6pt] u-v=\begin{pmatrix}2\\[2pt]2\\[2pt]2\end{pmatrix}. \end{cases}]

Passo 4

Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar u obtemos
(u-2v)-(u-v)=-v=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\[2pt]2\\[2pt]2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Assim -v=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}, logo
v=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Com v em mãos, voltamos à equação u-v=\begin{pmatrix}2\\[2pt]2\\[2pt]2\end{pmatrix}. Isolando u:
u=\begin{pmatrix}2\\[2pt]2\\[2pt]2\end{pmatrix}+v =\begin{pmatrix}2\\[2pt]2\\[2pt]2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Portanto a matriz A que representa T na base canônica é formada pelas colunas u e v:
A=\begin{pmatrix}3 & 1\\[2pt]2 & 0\\[2pt]1 & -1\end{pmatrix}.
A entrada a_{21} é a entrada da segunda linha e primeira coluna, ou seja a_{21}=2.]

Resposta

(H) 2

Exercícios relacionados