Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 240 graus e uma projeção T sobre o eixo x. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(A) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & 0 \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Uma rotação R em \mathbb{R}^2, no sentido anti-horário, por um ângulo de 240^\circ.
    • Uma projeção linear T de \mathbb{R}^2 sobre o eixo x, isto é, T(x,y)=(x,0).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a matriz que representa a transformação linear R T (primeiro aplicar T, depois R), escolhendo entre as alternativas fornecidas.

Passo 2

Entender a matriz de uma rotação e calcular \cos e \sin do ângulo dado.
  • Fórmula padrão da matriz de rotação em \mathbb{R}^2 por um ângulo \theta, no sentido anti-horário:
\text{Rot}_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Aqui \theta é o ângulo de rotação; a primeira coluna é a imagem do vetor (1,0) e a segunda coluna é a imagem de (0,1).
  • Calcular \cos e \sin de \theta=240^\circ.
    • Usar que 240^\circ=180^\circ+60^\circ. Então
    \cos 240^\circ=\cos(180^\circ+60^\circ)=-\cos 60^\circ=-\tfrac{1}{2},
\sin 240^\circ=\sin(180^\circ+60^\circ)=-\sin 60^\circ=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.]

Passo 3

Substituir esses valores na fórmula da matriz de rotação.
  • Com \cos 240^\circ=-\tfrac{1}{2} e \sin 240^\circ=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}, temos
R=\text{Rot}_{240^\circ}= \begin{pmatrix} \cos 240^\circ & -\sin 240^\circ\\[4pt] \sin 240^\circ & \cos 240^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & -\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)\\[4pt] -\tfrac{\sqrt{3}}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2}\\[4pt] -\tfrac{\sqrt{3}}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
  • Observação prática (útil na prova): a primeira coluna desta matriz é R(1,0)=(\cos\theta,\sin\theta)=(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}) e a segunda coluna é R(0,1)=(-\sin\theta,\cos\theta)=(\tfrac{\sqrt{3}}{2},-\tfrac{1}{2}).]

Passo 4

Encontrar a matriz da projeção T sobre o eixo x.
  • A projeção T manda (x,y) em (x,0). Aplicada aos vetores da base canônica:
    • T(1,0)=(1,0),
    • T(0,1)=(0,0).
  • Portanto a matriz de T na base canônica é
T=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},
cuja primeira coluna é T(1,0) e a segunda coluna é T(0,1).]

Passo 5

Entender a composição R T e como obter a matriz produto.
  • A composição R T significa: primeiro aplicar T, depois aplicar R. A matriz que representa R T é o produto matricial R\cdot T.
  • Uma maneira prática de calcular R T é ver como R T age nos vetores da base canônica:
    • Coluna 1 de R T = (R T)(1,0)=R\bigl(T(1,0)\bigr)=R(1,0).
    • Coluna 2 de R T = (R T)(0,1)=R\bigl(T(0,1)\bigr)=R(0,0)=(0,0).
  • Usando o que já temos:
    • T(1,0)=(1,0) e já calculamos R(1,0)=(\cos 240^\circ,\sin 240^\circ)=\bigl(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr).
    • T(0,1)=(0,0) e R(0,0)=(0,0).

Passo 6

Escrever a matriz final de R T juntando as colunas encontradas.
  • Coluna 1 é R(1,0)=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}.
  • Coluna 2 é \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Logo
R T = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] -\tfrac{\sqrt{3}}{2} & 0 \end{pmatrix}.]

Resposta

(A)

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