Q6: Considere em \mathbb{R}^{2} duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 240 graus e uma projeção T sobre o eixo x. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(A) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & 0 \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rr}0 & 0 \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & 0\end{array}\right]
(E) \left[\begin{array}{rr}0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ 0 & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(F) \left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]
(G) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
(H) \left[\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
Uma rotação R em \mathbb{R}^2, no sentido anti-horário, por um ângulo de 240^\circ.
Uma projeção linear T de \mathbb{R}^2 sobre o eixo x, isto é, T(x,y)=(x,0).
O que o enunciado pede:
Determinar a matriz que representa a transformação linear R T (primeiro aplicar T, depois R), escolhendo entre as alternativas fornecidas.
Passo 2
Entender a matriz de uma rotação e calcular \cos e \sin do ângulo dado.
Fórmula padrão da matriz de rotação em \mathbb{R}^2 por um ângulo \theta, no sentido anti-horário:
Observação prática (útil na prova): a primeira coluna desta matriz é R(1,0)=(\cos\theta,\sin\theta)=(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}) e a segunda coluna é R(0,1)=(-\sin\theta,\cos\theta)=(\tfrac{\sqrt{3}}{2},-\tfrac{1}{2}).]
Passo 4
Encontrar a matriz da projeção T sobre o eixo x.
A projeção T manda (x,y) em (x,0). Aplicada aos vetores da base canônica:
T(1,0)=(1,0),
T(0,1)=(0,0).
Portanto a matriz de T na base canônica é
T=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},
cuja primeira coluna é T(1,0) e a segunda coluna é T(0,1).]
Passo 5
Entender a composição R T e como obter a matriz produto.
A composição R T significa: primeiro aplicar T, depois aplicar R. A matriz que representa R T é o produto matricial R\cdot T.
Uma maneira prática de calcular R T é ver como R T age nos vetores da base canônica:
Coluna 1 de R T = (R T)(1,0)=R\bigl(T(1,0)\bigr)=R(1,0).
Coluna 2 de R T = (R T)(0,1)=R\bigl(T(0,1)\bigr)=R(0,0)=(0,0).
Usando o que já temos:
T(1,0)=(1,0) e já calculamos R(1,0)=(\cos 240^\circ,\sin 240^\circ)=\bigl(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr).
T(0,1)=(0,0) e R(0,0)=(0,0).
Passo 6
Escrever a matriz final de R T juntando as colunas encontradas.
Coluna 1 é R(1,0)=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}.
Coluna 2 é \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Logo
R T = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] -\tfrac{\sqrt{3}}{2} & 0 \end{pmatrix}.]