Calcule S1, S2, S3 para estas matrizes 1,3,1. Pela sequência de Fibonacci, adivinhe e verifique S4.
S1=|3| S2=|ll 3 & 1 1 & 3 | S3=|lll 3 & 1 & 0 1 & 3 & 1 0 & 1 & 3 |

Passo 1

O enunciado pede os determinantes
Sn = det An,
onde An é a matriz tridiagonal de tamanho n com 3 na diagonal principal e 1 nas diagonais adjacentes. Vamos usar a definição de determinante por expansão de Laplace (cofatores) e, em seguida, identificar a recorrência que surge.

Passo 2

Para n=1 a matriz é (3), logo
S1 = det(3) = 3

Passo 3

Para n=2 a matriz é
A2 = 3 & 11 & 3,
e pelo determinante de 2times2,
S2 = 3cdot3 - 1cdot1 = 9 - 1 = 8

Passo 4

Para n=3 a matriz é
A3 = 3 & 1 & 0 1 & 3 & 1 0 & 1 & 3
Expandindo pela primeira linha:
S3 = 3cdotdet3&11&3 -1cdotdet1&10&3 =3cdot8 -1cdot(1cdot3 - 1cdot0) =24 - 3 = 21

Passo 5

Notamos que Sn satisfaz a recorrência
Sn = 3,Sn-1 - Sn-2,
com S1=3 e S2=8. Comparando com a sequência de Fibonacci Fk, vemos
S1=F4=3, S2=F6=8, S3=F8=21,
logo conjecturamos
Sn = F2n+2

Passo 6

Para n=4 a conjectura dá
S4 = F10 = 55
Verificamos com a recorrência:
S4 = 3,S3 - S2 = 3cdot21 - 8 = 63 - 8 = 55,
confirmando a conjectura.

Resposta

S1=3, S2=8, S3=21, S4=55.

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