Explique por que o determinante 4 times 4 de Vandermonde contém x^3 mas não x^4 ou x^5 :
V4=det[cccc 1 & a & a^2 & a^3 1 & b & b^2 & b^3 1 & c & c^2 & c^3 1 & x & x^2 & x^3 ]
O determinante é zero quando x=ldots, e ___ O cofator de x^3 é V3=(b-a)(c-a)(c-b). Então V4=(b-a)(c-a)(c-b)(x-a)(x-b)(x-c).

Passo 1

O enunciado nos dá o determinante
V4=det 1 & a & a^2 & a^3 1 & b & b^2 & b^3 1 & c & c^2 & c^3 1 & x & x^2 & x^3
e pede para explicar por que aparece termo em x^3 mas não em x^4 ou x^5. O conteúdo aqui é ver o determinante como um polinômio em x, usar expansão por cofatores e observar as raízes que surgem quando duas linhas ficam iguais.

Passo 2

Expandindo V4 pela quarta linha, cada termo da soma é da forma
(pm);x^k;times;Ck,
onde k varia de 0 a 3 e Ck é o cofator correspondente, que não depende de x. Logo V4 é um polinômio em x de grau no máximo 3 — por isso não há termos x^4 nem x^5.

Passo 3

Observe que se x=a (ou x=b, ou x=c) então a quarta linha coincide com a primeira (ou segunda, ou terceira), e portanto
V4=0para x=a,b,c
Isso mostra que (x-a), (x-b) e (x-c) são fatores de V4.

Passo 4

O coeficiente de x^3 em V4 é exatamente o cofator obtido ao retirar a quarta linha e a quarta coluna, que é o determinante de ordem 3
V3=det 1 & a & a^2 1 & b & b^2 1 & c & c^2 =(b-a)(c-a)(c-b)
Logo, juntando tudo, temos
V4=(b-a)(c-a)(c-b),(x-a)(x-b)(x-c)

Resposta

V4=(b-a)(c-a)(c-b),(x-a)(x-b)(x-c)

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