Encontre G2 e G3 e então, por operações de linha, G4. Você pode prever Gn ?
G2=|ll 0 & 1 1 & 0 | G3=|lll 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 | G4=|llll 0 & 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & 0 |

Passo 1

O enunciado pede o determinante das matrizes Gn de ordem n que têm zeros na diagonal e uns nas posições fora da diagonal. Em particular,
G2 = 0&11&0, G3 = 0&1&11&0&11&1&0, G4 = 0&1&1&11&0&1&11&1&0&11&1&1&0
Para resolver, vamos usar regra de Sarrus nos casos 2times2 e 3times3 e operações de linha para o 4times4. Por fim, veremos o padrão geral usando propriedades de autovalores.

Passo 2

Calculando G2 por regra de Sarrus,
G2 = det0&11&0 = 0cdot0 - 1cdot1 = -1

Passo 3

Para G3, aplicamos Sarrus:
G3 = det 0&1&1 1&0&1 1&1&0 =0cdot0cdot0 + 1cdot1cdot1 + 1cdot1cdot1 - l(1cdot0cdot1 + 1cdot1cdot0 + 0cdot1cdot1r) =2

Passo 4

Em G4, fazemos para i=2,3,4: Ri Ri - R1. Como subtrair múltiplos de uma linha de outra não altera o determinante, obtemos
0&1&1&1 1&-1&0&0 1&0&-1&0 1&0&0&-1
Agora expandimos pela primeira coluna:
det(G4) = -det1&1&10&-1&00&0&-1 + det1&1&1-1&0&00&0&-1 - det1&1&1-1&0&00&-1&0
Cada um desses 3times3 dá, respectivamente, 1, -1 e 1. Logo
det(G4) = -1 + (-1) -1 = -3

Passo 5

Para prever det(Gn), note que Gn = Jn - In, onde Jn é a matriz de todos uns e In a identidade. Os autovalores de Jn são n (multiplicidade 1) e 0 (multiplicidade n-1). Então em Jn - In surgem os autovalores n-1 (uma vez) e -1 ( n-1 vezes). Assim
det(Gn) = (n-1)cdot(-1)^,n-1

Resposta

G2 = -1
G3 = 2
G4 = -3
Gn = (n-1),(-1)^,n-1

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