Determine la máxima rapidez de bits para una señal FSK con 48 kHz de frecuencia de marca, 52 kHz de frecuencia de espacio y 10 kHz de ancho de banda disponible.

Passo 1

Voy a listar claramente lo que el enunciado da y lo que pide, para no perdernos:
  • Se tienen las dos frecuencias de la señal FSK:
    • frecuencia de marca f_{\text{mark}} = 48\\ \text{kHz},
    • frecuencia de espacio f_{\text{space}} = 52\\ \text{kHz}.
  • El ancho de banda disponible del canal es B_{\text{disp}} = 10\\ \text{kHz}.
  • La pregunta: determinar la máxima rapidez de bits (es decir, la máxima tasa de bits R_b en bit/s) que se puede usar con esa señal FSK y ese ancho de banda disponible.
Información calculable inmediatamente (la saco de los datos anteriores):
  • frecuencia central (punto medio) \displaystyle f_c = \frac{f_{\text{mark}} + f_{\text{space}}}{2}.
  • desviación de frecuencia (peak) respecto a la portadora central \displaystyle \Delta f = |f_{\text{space}} - f_c| = |f_{\text{mark}} - f_c|.
  • separación entre tonos \displaystyle \Delta f_{\text{sep}} = f_{\text{space}} - f_{\text{mark}}.

Passo 2

Calcular los valores numéricos simples que usaremos:
  • Centro: \displaystyle f_c = \frac{48\\ \text{kHz} + 52\\ \text{kHz}}{2} = 50\\ \text{kHz}.
  • Separación entre las dos frecuencias: \displaystyle \Delta f_{\text{sep}} = 52\\ \text{kHz} - 48\\ \text{kHz} = 4\\ \text{kHz}.
  • Desviación (peak) respecto a la portadora central: \displaystyle \Delta f = \frac{\Delta f_{\text{sep}}}{2} = 2\\ \text{kHz}.
Aquí explico qué es cada cosa de forma práctica:
  • \Delta f_{\text{sep}} es cuánto están separadas las dos portadoras (es 4 kHz).
  • \Delta f (a menudo llamada desviación de frecuencia) es cuánto se aparta cada tono del centro: cada tono está \pm 2\\ \text{kHz} alrededor de f_c.

Passo 3

Explico la relación entre ancho de banda y tasa de bits para FSK y por qué la elegimos:
  • Una forma práctica y muy usada para estimar el ancho de banda ocupado por FSK es aplicar la regla de Carson (adaptada a FSK tratándolo como FM con desviación fija y una señal moduladora con máxima frecuencia igual a la mitad de la tasa de símbolos). La versión útil para binary-FSK da una aproximación:
B \approx 2\Delta f + R_b,
donde
  • B es el ancho de banda aproximado ocupado por la señal FSK,
  • \Delta f es la desviación de frecuencia pico (lo que calculamos: 2\\ \text{kHz}),
  • R_b es la tasa de bits (en bit/s).
Breve explicación didáctica de esa fórmula:
  • La regla de Carson para FM dice B \approx 2(\Delta f + f_m) donde f_m es la máxima frecuencia del modulador. En FSK binaria con símbolos NRZ (cambios de símbolo a la velocidad de bits), la componente más alta del modulador es aproximadamente f_m \approx R_b/2 (porque un símbolo cambia cada T_b=1/R_b, así la frecuencia de modulación máxima es del orden de 1/(2T_b)). Reemplazando:
B \approx 2\bigl(\Delta f + \tfrac{R_b}{2}\bigr)=2\Delta f + R_b.
  • Esta es una estimación útil en ejercicios: captura que el espectro crece con la desviación y con la rapidez de los cambios (la R_b).

Passo 4

Usar la fórmula anterior para imponer la restricción del canal y despejar la máxima R_b compatible con el ancho de banda disponible:
  • La condición de que el canal pueda pasar la señal es
B \le B_{\text{disp}}.
Tomando B \approx 2\Delta f + R_b y poniendo B_{\text{disp}} = 10\\ \text{kHz} y \Delta f = 2\\ \text{kHz}, tenemos:
10\\ \text{kHz} \approx 2\cdot(2\\ \text{kHz}) + R_b \quad\Rightarrow\quad R_b \approx 10\\ \text{kHz} - 4\\ \text{kHz} = 6\\ \text{kHz}.
Es decir,
R_b \approx 6000\\ \text{bit/s}.
Explicación intuitiva: con desviación de 2\\ \text{kHz} por cada lado ya se “gasta” 2\Delta f = 4\\ \text{kHz} del ancho de banda, y el resto del ancho disponible se consume por la rapidez de los cambios de símbolo (la R_b). Así quedan unos 6\\ \text{kHz} para los cambios, lo que corresponde a 6000\\ \text{bit/s}.

Passo 5

Comento una posible otra consideración — ortogonalidad — y por qué la restricción de ancho de banda es la que manda aquí:
  • Para BFSK ortogonal (ventajosa para detección), la condición mínima de ortogonalidad entre los dos tonos es
\Delta f_{\text{sep}} \cdot T_b = \tfrac{1}{2},
con T_b = 1/R_b. Despejando \,R_b = 2\Delta f_{\text{sep}}. Si se usara esa condición mínima con \Delta f_{\text{sep}}=4\\ \text{kHz}, tendríamos
R_b = 2\cdot 4\\ \text{kHz} = 8\\ \text{kbit/s}.
  • Pero si intentáramos usar R_b=8\\ \text{kbit/s}, la estimación de ancho de banda por Carson daría
B \approx 2\Delta f + R_b = 4\\ \text{kHz} + 8\\ \text{kHz} = 12\\ \text{kHz},
que excede el ancho de banda disponible (10 kHz). Por tanto, aunque la ortogonalidad pide hasta 8\\ \text{kbit/s}, el canal no tiene suficiente ancho para eso. La limitación por ancho de banda es la que realmente fija la máxima R_b práctica aquí, que es 6\\ \text{kbit/s}.

Passo 6

Resumen práctico y consejo para la prueba:
  • Fórmula clave que usé y que conviene memorizar/entender: \displaystyle B \approx 2\Delta f + R_b para FSK aproximado (Carson adaptado).
  • Procedimiento en la prueba: 1) calcula \Delta f (desviación), 2) sustituye en B \le B_{\text{disp}}, 3) despeja R_b.
  • Si te preguntan sobre ortogonalidad o SNR para detección, hay que comparar la R_b deseada con la que exige la ortogonalidad; pero cuando el canal tiene banda limitada, muchas veces la banda es el factor limitante (como aquí).

Resposta

\displaystyle R_b \approx 6000\\ \text{bit/s}

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