Determine la máxima rapidez de bits para una señal FSK con 48 kHz de frecuencia de marca, 52 kHz de frecuencia de espacio y 10 kHz de ancho de banda disponible.
Passo 1
Voy a listar claramente lo que el enunciado da y lo que pide, para no perdernos:
- Se tienen las dos frecuencias de la señal FSK:
- frecuencia de marca
, - frecuencia de espacio
.
- frecuencia de marca
- El ancho de banda disponible del canal es
. - La pregunta: determinar la máxima rapidez de bits (es decir, la máxima tasa de bits
en bit/s) que se puede usar con esa señal FSK y ese ancho de banda disponible.
Información calculable inmediatamente (la saco de los datos anteriores):
- frecuencia central (punto medio)
. - desviación de frecuencia (peak) respecto a la portadora central
. - separación entre tonos
.
Passo 2
Calcular los valores numéricos simples que usaremos:
- Centro:
- Separación entre las dos frecuencias:
- Desviación (peak) respecto a la portadora central:
Aquí explico qué es cada cosa de forma práctica:
-
es cuánto están separadas las dos portadoras (es 4 kHz). -
(a menudo llamada desviación de frecuencia) es cuánto se aparta cada tono del centro: cada tono está alrededor de .
Passo 3
Explico la relación entre ancho de banda y tasa de bits para FSK y por qué la elegimos:
- Una forma práctica y muy usada para estimar el ancho de banda ocupado por FSK es aplicar la regla de Carson (adaptada a FSK tratándolo como FM con desviación fija y una señal moduladora con máxima frecuencia igual a la mitad de la tasa de símbolos). La versión útil para binary-FSK da una aproximación:
donde
-
es el ancho de banda aproximado ocupado por la señal FSK, -
es la desviación de frecuencia pico (lo que calculamos: ), -
es la tasa de bits (en bit/s).
Breve explicación didáctica de esa fórmula:
- La regla de Carson para FM dice
donde es la máxima frecuencia del modulador. En FSK binaria con símbolos NRZ (cambios de símbolo a la velocidad de bits), la componente más alta del modulador es aproximadamente (porque un símbolo cambia cada , así la frecuencia de modulación máxima es del orden de ). Reemplazando:
- Esta es una estimación útil en ejercicios: captura que el espectro crece con la desviación y con la rapidez de los cambios (la
).
Passo 4
Usar la fórmula anterior para imponer la restricción del canal y despejar la máxima
compatible con el ancho de banda disponible:
- La condición de que el canal pueda pasar la señal es
Tomando
y poniendo
y
, tenemos:
Es decir,
Explicación intuitiva: con desviación de
por cada lado ya se “gasta”
del ancho de banda, y el resto del ancho disponible se consume por la rapidez de los cambios de símbolo (la
). Así quedan unos
para los cambios, lo que corresponde a
.
Passo 5
Comento una posible otra consideración — ortogonalidad — y por qué la restricción de ancho de banda es la que manda aquí:
- Para BFSK ortogonal (ventajosa para detección), la condición mínima de ortogonalidad entre los dos tonos es
con
. Despejando
Si se usara esa condición mínima con
, tendríamos
- Pero si intentáramos usar
, la estimación de ancho de banda por Carson daría
que excede el ancho de banda disponible (10 kHz). Por tanto, aunque la ortogonalidad pide hasta
, el canal no tiene suficiente ancho para eso. La limitación por ancho de banda es la que realmente fija la máxima
práctica aquí, que es
.
Passo 6
Resumen práctico y consejo para la prueba:
- Fórmula clave que usé y que conviene memorizar/entender:
para FSK aproximado (Carson adaptado). - Procedimiento en la prueba: 1) calcula
(desviación), 2) sustituye en , 3) despeja . - Si te preguntan sobre ortogonalidad o SNR para detección, hay que comparar la
deseada con la que exige la ortogonalidad; pero cuando el canal tiene banda limitada, muchas veces la banda es el factor limitante (como aquí).