Depois de fatorar os números, calcule o máximo divisor comum entre:
42 e 105 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o máximo divisor comum (MDC) entre os números 42 e 105 depois de fatorá-los.
Informações dadas:
  • Primeiro número: 42.
  • Segundo número: 105.
    O que se pede: encontrar \gcd(42,105) (ou seja, o maior número inteiro que divide ambos).

Passo 2

Explicação rápida da ideia que vamos usar (fatoração em primos):
  • Um número primo é um inteiro maior que 1 que só tem divisores 1 e ele mesmo (ex.: 2,3,5,7,\dots).
  • Todo inteiro >1 pode ser escrito como produto de números primos (fatoração única, salvo a ordem).
  • Se escrevemos as fatorações em primos de dois números como produtos de potências de primos, o \gcd é o produto, para cada primo comum, do primo elevado ao menor expoente que aparece nas duas fatorações.
    Exemplo pequeno: se a=2^3\cdot3^1 e b=2^2\cdot3^4, então \gcd(a,b)=2^{\min(3,2)}\cdot3^{\min(1,4)}=2^2\cdot3^1.

Passo 3

Fatoração de 42 passo a passo:
  • 42 é par, divide por 2: 42 = 2 \cdot 21.
  • 21 divide por 3: 21 = 3 \cdot 7.
  • 7 é primo.
    Portanto a fatoração prima é
42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 2^{1}\cdot 3^{1}\cdot 7^{1}.

Passo 4

Fatoração de 105 passo a passo:
  • Soma dos algarismos de 105 é 1+0+5=6, múltiplo de 3, logo 105 divide por 3: 105 = 3 \cdot 35.
  • 35 divide por 5: 35 = 5 \cdot 7.
  • 7 é primo.
    Portanto a fatoração prima é
105 = 3 \cdot 5 \cdot 7 = 3^{1}\cdot 5^{1}\cdot 7^{1}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra dos menores expoentes para obter o \gcd. Listando os primos que aparecem nas duas fatorações: 2,3,5,7. Os primos comuns a ambas as fatorações são 3 e 7. Para cada primo comum tomamos o menor expoente entre os dois números:
  • Para 3: \min(1,1)=1.
  • Para 7: \min(1,1)=1.
    Primos 2 e 5 não são comuns aos dois, então não entram. Logo
\gcd(42,105)=3^{1}\cdot 7^{1}=3\cdot 7=21.

Passo 6

Verificação rápida pelo algoritmo de Euclides (checa se deu certo):
  • 105 = 42\cdot 2 + 21.
  • 42 = 21\cdot 2 + 0.
    Quando o resto chega a 0, o último resto não nulo é o \gcd; aqui é 21. Confere com o resultado acima.

Resposta

21

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