Depois de fatorar os números, calcule o máximo divisor comum entre:
42 e 105 .
42 e 105 .
Passo 1
O enunciado pede para calcular o máximo divisor comum (MDC) entre os números
e
depois de fatorá-los.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Primeiro número:
. - Segundo número:
.
O que se pede: encontrar(ou seja, o maior número inteiro que divide ambos).
Passo 2
Explicação rápida da ideia que vamos usar (fatoração em primos):
- Um número primo é um inteiro maior que
que só tem divisores e ele mesmo (ex.: ). - Todo inteiro
pode ser escrito como produto de números primos (fatoração única, salvo a ordem). - Se escrevemos as fatorações em primos de dois números como produtos de potências de primos, o
é o produto, para cada primo comum, do primo elevado ao menor expoente que aparece nas duas fatorações.
Exemplo pequeno: see , então .
Passo 3
Fatoração de
passo a passo:
-
é par, divide por : . -
divide por : . -
é primo.
Portanto a fatoração prima é
Passo 4
Fatoração de
passo a passo:
- Soma dos algarismos de
é , múltiplo de , logo divide por : . -
divide por : . -
é primo.
Portanto a fatoração prima é
Passo 5
Agora aplicamos a regra dos menores expoentes para obter o
. Listando os primos que aparecem nas duas fatorações:
. Os primos comuns a ambas as fatorações são
e
. Para cada primo comum tomamos o menor expoente entre os dois números:
- Para
: . - Para
: .
Primose não são comuns aos dois, então não entram. Logo
Passo 6
Verificação rápida pelo algoritmo de Euclides (checa se deu certo):
-
. -
.
Quando o resto chega a, o último resto não nulo é o ; aqui é . Confere com o resultado acima.
Resposta
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