Calcule todos os divisores de 24 e de 36. Determine os divisores comuns entre esses dois números. I
Passo 1
O enunciado pede claramente duas coisas:
- Calcular todos os divisores de
. - Calcular todos os divisores de
. - Determinar os divisores comuns entre
e .
Informações dadas:
- Os números em questão são
e . Nada mais foi fornecido.
Passo 2
O que é um divisor? Vou explicar com calma: um número inteiro positivo
é divisor de um inteiro positivo
se existe um inteiro positivo
tal que
.
Exemplo rápido e concreto: é divisor de
porque
.
Exemplo rápido e concreto:
Passo 3
Método que vamos usar (explicado passo a passo): fatoração em primos e combinação de expoentes.
Qual é a ideia? Qualquer inteiro positivo pode ser escrito como produto de primos:
Qual é a ideia? Qualquer inteiro positivo
onde
são primos distintos e
são inteiros positivos.
Todo divisor de
tem a forma
Todo divisor
onde cada expoente satisfaz
. Assim, para gerar todos os divisores basta listar todas as combinações possíveis dos expoentes
. Além disso, o número total de divisores é
Não se assuste — vou aplicar isso explicitamente em seguida.
Passo 4
Fatoração em primos de
, passo a passo:
-
é par, divido por : . -
é par, divido por : . -
é par, divido por : . -
é primo, divido por : .
Terminamos com todos fatores:. Pelo formulário, o número de divisores é , então devemos encontrar exatamente 8 divisores.
Passo 5
Gerando todos os divisores de
a partir da fatoração
. Os expoentes possíveis são:
- para
: , - para
: .
Agora combinamos:
Ordenando em ordem crescente, os divisores de
são:
Passo 6
Fatoração em primos de
, passo a passo:
-
é par, divido por : . -
é par, divido por : . -
é divisível por , divido por : . -
é primo, divido por : .
Terminamos com. O número de divisores é , então esperamos 9 divisores.
Passo 7
Gerando todos os divisores de
a partir de
. Expoentes possíveis:
- para
: , - para
: .
Combinações (organizadas por potências de
):
-
: , , -
: , , -
: , ,
Ordenando em ordem crescente, os divisores de
são:
Passo 8
Calculando os divisores comuns entre
e
.
Método direto: faça a interseção das duas listas encontradas:
- Divisores de
: . - Divisores de
: .
Elementos em comum:.
Método alternativo (útil para aprender): usar o
(máximo divisor comum). Se
e
(com expoentes zero quando o primo não aparece), então
Aplicando aos nossos casos (
,
):
Os divisores comuns de
e
são exatamente os divisores de
. A fatoração
gera os divisores
que coincidem com a interseção obtida acima.
Passo 9
Resumo final e uma palavra de ânimo: já temos todas as listas e a verificação via
confirma que não falta nenhum divisor comum. Está bem estruturado — na prova, fazer a fatoração e listar combinações é um caminho rápido e seguro. Boa! Você consegue.
Resposta
Divisores de
:
Divisores de :
Divisores comuns a e
:
Divisores de
Divisores comuns a