Calcule todos os divisores de 24 e de 36. Determine os divisores comuns entre esses dois números. I

Passo 1

O enunciado pede claramente duas coisas:
  • Calcular todos os divisores de 24.
  • Calcular todos os divisores de 36.
  • Determinar os divisores comuns entre 24 e 36.
Informações dadas:
  • Os números em questão são 24 e 36. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

O que é um divisor? Vou explicar com calma: um número inteiro positivo d é divisor de um inteiro positivo n se existe um inteiro positivo k tal que \;n = d\cdot k\;.
Exemplo rápido e concreto: \;3 é divisor de \;24 porque \;24 = 3 \cdot 8.

Passo 3

Método que vamos usar (explicado passo a passo): fatoração em primos e combinação de expoentes.
Qual é a ideia? Qualquer inteiro positivo n pode ser escrito como produto de primos:
n = p_1^{a_1}\,p_2^{a_2}\cdots p_r^{a_r},
onde p_i são primos distintos e a_i são inteiros positivos.
Todo divisor d de n tem a forma
d = p_1^{b_1}\,p_2^{b_2}\cdots p_r^{b_r},
onde cada expoente satisfaz 0 \le b_i \le a_i. Assim, para gerar todos os divisores basta listar todas as combinações possíveis dos expoentes b_i. Além disso, o número total de divisores é
\prod_{i=1}^r (a_i+1).
Não se assuste — vou aplicar isso explicitamente em seguida.

Passo 4

Fatoração em primos de 24, passo a passo:
  • 24 é par, divido por 2: 24 = 2 \cdot 12.
  • 12 é par, divido por 2: 12 = 2 \cdot 6.
  • 6 é par, divido por 2: 6 = 2 \cdot 3.
  • 3 é primo, divido por 3: 3 = 3 \cdot 1.
    Terminamos com todos fatores: 24 = 2^3 \cdot 3^1. Pelo formulário, o número de divisores é (3+1)(1+1)=4\cdot2=8, então devemos encontrar exatamente 8 divisores.

Passo 5

Gerando todos os divisores de 24 a partir da fatoração 24 = 2^3\cdot3^1. Os expoentes possíveis são:
  • para 2: b_2 \in \{0,1,2,3\},
  • para 3: b_3 \in \{0,1\}.
Agora combinamos:
  • 2^0\cdot 3^0 = 1
  • 2^1\cdot 3^0 = 2
  • 2^2\cdot 3^0 = 4
  • 2^3\cdot 3^0 = 8
  • 2^0\cdot 3^1 = 3
  • 2^1\cdot 3^1 = 6
  • 2^2\cdot 3^1 = 12
  • 2^3\cdot 3^1 = 24
Ordenando em ordem crescente, os divisores de 24 são:
1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;8,\;12,\;24.

Passo 6

Fatoração em primos de 36, passo a passo:
  • 36 é par, divido por 2: 36 = 2 \cdot 18.
  • 18 é par, divido por 2: 18 = 2 \cdot 9.
  • 9 é divisível por 3, divido por 3: 9 = 3 \cdot 3.
  • 3 é primo, divido por 3: 3 = 3 \cdot 1.
    Terminamos com 36 = 2^2 \cdot 3^2. O número de divisores é (2+1)(2+1)=3\cdot3=9, então esperamos 9 divisores.

Passo 7

Gerando todos os divisores de 36 a partir de 36 = 2^2\cdot3^2. Expoentes possíveis:
  • para 2: b_2 \in \{0,1,2\},
  • para 3: b_3 \in \{0,1,2\}.
Combinações (organizadas por potências de 2):
  • 2^0: 2^0\cdot3^0 = 1, 2^0\cdot3^1 = 3, 2^0\cdot3^2 = 9
  • 2^1: 2^1\cdot3^0 = 2, 2^1\cdot3^1 = 6, 2^1\cdot3^2 = 18
  • 2^2: 2^2\cdot3^0 = 4, 2^2\cdot3^1 = 12, 2^2\cdot3^2 = 36
Ordenando em ordem crescente, os divisores de 36 são:
1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;9,\;12,\;18,\;36.

Passo 8

Calculando os divisores comuns entre 24 e 36.
Método direto: faça a interseção das duas listas encontradas:
  • Divisores de 24: 1,2,3,4,6,8,12,24.
  • Divisores de 36: 1,2,3,4,6,9,12,18,36.
    Elementos em comum: 1,2,3,4,6,12.
Método alternativo (útil para aprender): usar o \gcd (máximo divisor comum). Se n = \prod p_i^{a_i} e m = \prod p_i^{b_i} (com expoentes zero quando o primo não aparece), então
\gcd(n,m) = \prod p_i^{\min(a_i,b_i)}.
Aplicando aos nossos casos ( 24 = 2^3\cdot3^1, 36 = 2^2\cdot3^2):
\gcd(24,36) = 2^{\min(3,2)}\cdot 3^{\min(1,2)} = 2^2\cdot 3^1 = 4\cdot 3 = 12.
Os divisores comuns de 24 e 36 são exatamente os divisores de \gcd(24,36)=12. A fatoração 12 = 2^2\cdot3^1 gera os divisores
1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;12,
que coincidem com a interseção obtida acima.

Passo 9

Resumo final e uma palavra de ânimo: já temos todas as listas e a verificação via \gcd confirma que não falta nenhum divisor comum. Está bem estruturado — na prova, fazer a fatoração e listar combinações é um caminho rápido e seguro. Boa! Você consegue.

Resposta

Divisores de 24: 1,2,3,4,6,8,12,24
Divisores de 36: 1,2,3,4,6,9,12,18,36
Divisores comuns a 24 e 36: 1,2,3,4,6,12

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