Verifique a independência do caminho e, em caso de independência, integre de (0,0,0) até (a, b, c).
(3 x^2 e^2 y+x) d x+2 x^3 e^2 y d y

Passo 1

Temos a forma diferencial em duas variáveis:
omega=(3 x^2 e^2 y+x),dx+2 x^3 e^2 y,dy
O conteúdo é integral de linha e independência de caminho (formas exatas). Vamos checar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial para computar a integral de (0,0,0) a (a,b,c).

Passo 2

Para testar se omega é exata, identificamos
M(x,y)=3x^2e^2y+x, N(x,y)=2x^3e^2y
Calculamos as derivadas parciais cruzadas:
partial Mpartial y=6x^2e^2y, partial Npartial x=6x^2e^2y
Como são iguais, a forma é exata e a integral independe do caminho.

Passo 3

Precisamos agora encontrar a função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M(x,y)
Integrando em relação a x:
phi(x,y)=integral(3x^2e^2y+x),dx = x^3e^2y+x^22+h(y),
onde h(y) é função só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos
partial phipartial y=2x^3e^2y+h'(y)
e igualamos a N(x,y)=2x^3e^2y. Assim, h'(y)=0 e h(y)=constante.
Podemos tomar essa constante como zero no cálculo da integral.

Passo 5

Como a integral independe do caminho, basta avaliar a diferença da potencial entre os pontos.
Final:
integral(0,0,0)^(a,b,c)omega=phi(a,b)-phi(0,0)=a^3e^2b+a^22

Resposta

a^3e^2b+tfraca^22

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