Calcule os máximos e mínimos locais da função:
Passo 1
O enunciado pede os máximos e mínimos locais da função dada. Informações fornecidas:
- A função é
. - Devemos encontrar os pontos críticos (se houver) e classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 2
Primeiro passo técnico (calcular os pontos críticos): precisamos encontrar onde o gradiente é nulo, isto é, onde as derivadas parciais primeiras se anulam. Uma breve explicação didática: a derivada parcial de
em relação a
, anotada
ou
, trata
como constante e diferencia
por
; análoga definição vale para
.
Calculemos as derivadas parciais:
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora impomos o sistema
Do segundo equação isolamos
na primeira equação:
Simplificando o termo com
:
Portanto
Usando
obtemos o
correspondente:
Concluímos que existe um único ponto crítico:
Passo 4
Classificação do ponto crítico (teste da segunda derivada). Explicação didática: para funções de duas variáveis, usamos as segundas derivadas para formar a matriz Hessiana
onde
,
e
. O determinante
serve para classificar: se
e
então mínimo local; se
e
então máximo local; se
ponto de sela; se
o teste é inconclusivo.
Calculemos as segundas derivadas:
Então o determinante do Hessiano é
Passo 5
Avaliação do teste no ponto crítico
. Substituindo:
logo
E
Como
e
, pelo teste da segunda derivada o ponto crítico é um mínimo local.
Passo 6
Calculemos também o valor da função nesse mínimo (útil na prova). Seja
e
. Então
Observando que
resulta em
Multiplicando por
obtemos
. Assim
Substituindo
: