Calcule os máximos e mínimos locais da função:
f(x, y)=x^{3}+y^{2}-3 x y-2 y

Passo 1

O enunciado pede: determinar os máximos e mínimos locais da função
f(x,y)=x^{3}+y^{2}-3xy-2y.
Informações dadas:
  • A função é f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=x^{3}+y^{2}-3xy-2y.
  • Precisa-se encontrar todos os pontos críticos (onde o gradiente é zero) e classificá-los como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 2

Primeiro precisamos entender e calcular as derivadas parciais. Rápida explicação: a derivada parcial de f em relação a x, escrita f_x, mede a variação de f quando x muda e y fica fixo. Analogamente para f_y.
Calculemos as derivadas parciais:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}+y^{2}-3xy-2y\big)=3x^{2}-3y,
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}+y^{2}-3xy-2y\big)=2y-3x-2.
Ponto crítico é solução do sistema \nabla f=(f_x,f_y)=(0,0).

Passo 3

Resolvendo o sistema \begin{cases}f_x=0\\[4pt] f_y=0\end{cases}:
Da primeira equação \,3x^{2}-3y=0\Rightarrow y=x^{2}.
Substituindo em f_y=0:
2y-3x-2=0 \quad\Rightarrow\quad 2x^{2}-3x-2=0.
Resolva a equação quadrática com a fórmula:
x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4\cdot 2\cdot(-2)}}{2\cdot 2} =\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{4} =\frac{3\pm5}{4}.
Assim obtemos duas soluções para x:
x_1=\frac{3+5}{4}=2,\qquad x_2=\frac{3-5}{4}=-\frac{1}{2}.
Correspondentes y=x^{2}:
y_1=2^{2}=4,\qquad y_2=\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}.
Logo os pontos críticos são \,(2,4) e , \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right).]

Passo 4

Agora classificamos os pontos críticos usando a matriz Hessiana. Explicação rápida: a Hessiana reúne as segundas derivadas e a segunda derivada test verifica o determinante D e o sinal de f_{xx}. Para funções de duas variáveis:
f_{xx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\quad f_{xy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y},\quad f_{yy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}},
e o discriminante é \,D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}.
Regras:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 inconclusivo.
Calculemos as segundas derivadas:
f_{xx}=6x,\qquad f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}-3y)=-3,\qquad f_{yy}=2.
Logo
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=(6x)\cdot 2 - (-3)^{2}=12x-9.

Passo 5

Avaliando D e f_{xx} em cada ponto crítico:
  1. No ponto \,(2,4):
D(2,4)=12\cdot 2 -9=24-9=15>0,
f_{xx}(2,4)=6\cdot 2=12>0.
Como D>0 e f_{xx}>0, (2,4) é um mínimo local.
Valor da função em (2,4):
f(2,4)=2^{3}+4^{2}-3\cdot 2\cdot 4 -2\cdot 4 =8+16-24-8=-8.
  1. No ponto \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right):
D\!\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right)=12\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)-9=-6-9=-15<0.
Como D<0, o ponto \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right) é um ponto de sela (nem máximo nem mínimo local).
Valor da função em \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right):
f\!\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right)=\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{3}+\left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}-3\left(-\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{4}\right)-2\left(\tfrac{1}{4}\right) =-\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{16}+\tfrac{3}{8}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{3}{16}.

Passo 6

Resumo interpretativo (um empurrãozinho motivador): encontramos dois pontos especiais. Em (2,4) a curvatura da superfície aponta para cima em todas as direções (mínimo local) e em \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right) a curvatura tem sinais opostos em direções diferentes (ponto de sela). Não há nenhum máximo local.

Resposta

Mínimo local: (2,4) com f(2,4)=-8
Ponto de sela (não é máximo nem mínimo): \left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right) com f\!\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}\right)=-\tfrac{3}{16}

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