Calcule os máximos e mínimos locais da função:
Passo 1
O enunciado pede: determinar os máximos e mínimos locais da função
.
Informações dadas:
- A função é
definida por . - Precisa-se encontrar todos os pontos críticos (onde o gradiente é zero) e classificá-los como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Passo 2
Primeiro precisamos entender e calcular as derivadas parciais. Rápida explicação: a derivada parcial de
em relação a
, escrita
, mede a variação de
quando
muda e
fica fixo. Analogamente para
.
Calculemos as derivadas parciais:
Ponto crítico é solução do sistema
.
Passo 3
Resolvendo o sistema
:
Da primeira equação
Substituindo em :
Substituindo em
Resolva a equação quadrática com a fórmula:
Assim obtemos duas soluções para
:
Correspondentes
:
Logo os pontos críticos são
e ,
.]
Passo 4
Agora classificamos os pontos críticos usando a matriz Hessiana. Explicação rápida: a Hessiana reúne as segundas derivadas e a segunda derivada test verifica o determinante
e o sinal de
. Para funções de duas variáveis:
e o discriminante é
Regras:
Regras:
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
inconclusivo.
Calculemos as segundas derivadas:
Logo
Passo 5
Avaliando
e
em cada ponto crítico:
- No ponto
:
Como
e
,
é um mínimo local.
Valor da função em
:
- No ponto
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela (nem máximo nem mínimo local).
Valor da função em
:
Passo 6
Resumo interpretativo (um empurrãozinho motivador): encontramos dois pontos especiais. Em
a curvatura da superfície aponta para cima em todas as direções (mínimo local) e em
a curvatura tem sinais opostos em direções diferentes (ponto de sela). Não há nenhum máximo local.
Resposta
Mínimo local:
com
Ponto de sela (não é máximo nem mínimo): com
Ponto de sela (não é máximo nem mínimo):