Calcule os máximos e mínimos locais da função:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede: calcular os máximos e mínimos locais da função
- Informação dada: a expressão explícita de
. - Objetivo prático (o que vou fazer): encontrar pontos críticos (onde o gradiente é zero) e classificá‑los (mínimo, máximo ou ponto de sela) usando derivadas parciais e o teste da matriz Hessiana. Não é preciso usar nenhum dado adicional.
Passo 2
Derivadas parciais — como calcular e por quê.
Explicação curta: para achar extremos locais de uma função diferenciável procuramos pontos onde as derivadas parciais se anulam, isto é onde o gradiente
é o vetor zero. Aqui a parte não trivial é derivar
.
Explicação curta: para achar extremos locais de uma função diferenciável
Regra usada: se
então
. Aplicando a cadeia com
temos
Análogo para
.
Agora calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Encontrar os pontos críticos: resolver
.
Igualando a zero as derivadas parciais:
Igualando a zero as derivadas parciais:
Denote
. As equações viram
Elevar ao quadrado e somar para usar a definição de
:
Mas por definição
. Substituindo:
Com
obtemos
Logo há exatamente um ponto crítico:
.
Passo 4
Classificação do ponto crítico — Hessiana e teste de segunda derivada.
Explicação do que é Hessiana: é a matriz das segundas derivadas
Explicação do que é Hessiana: é a matriz das segundas derivadas
Se
é definida positiva num ponto (todos os autovalores positivos, ou equivalentemente
e
em 2D) então
tem mínimo local ali; se definida negativa tem máximo; se determinante negativa é sela.
Calculemos as segundas derivadas em forma geral. Para
já vimos
e
. Derivando novamente,
Analogamente
(Observação: a parte linear
não contribui para segundas derivadas.)
Agora o determinante da Hessiana:
Além disso
. Portanto, em qualquer ponto (em particular em
) temos
e
, ou seja
é definida positiva. Conclusão: o ponto crítico é um mínimo local.
Podemos também avaliar a Hessiana no ponto crítico explicitamente (opcional verificação): com
,
,
obtém‑se
positiva definida, confirmando o mínimo.]
Passo 5
Unicidade e mínimo global — por que não existe máximo local nem outros mínimos.
Observação importante: como e
para todo
, a matriz Hessiana é definida positiva em todo o plano. Uma função com Hessiana definida positiva em todo
é estritamente convexa. Uma função estritamente convexa tem no máximo um ponto crítico e esse ponto crítico é um mínimo global. Portanto o mínimo localizado em
é, na verdade, o mínimo global e é único. Não existem máximos locais.
Observação importante: como
Podemos ainda calcular o valor mínimo: em
temos
, então
Resposta
Mínimo local (e global) em
com valor
.
Não há máximos locais.
Não há máximos locais.