Determine o plano tangente e a reta normal a
no ponto ( 6,2 )
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pede: o plano tangente e a reta normal à superfície definida por
no ponto . - Nos é dada a função
- Para construir o plano tangente a uma superfície
em precisamos de: - o ponto no espaço
, - as derivadas parciais
e .
- o ponto no espaço
- Para construir a reta normal usamos um vetor normal ao plano tangente, que pode ser obtido a partir das derivadas parciais.
Passo 2
Calcular o valor de
no ponto dado (ou seja a coordenada
do ponto sobre a superfície).
- Calcular
:
- Logo o ponto sobre a superfície é
.
Passo 3
Lembrar a fórmula do plano tangente e a ideia das derivadas parciais (aulas rápidas).
- Fórmula padrão do plano tangente à superfície
em :
onde
e
são as derivadas parciais. Essa fórmula vem da aproximação linear (expansão de primeira ordem) de
em torno do ponto.
- Para obter
e lembramos que, para , a derivada segue a regra da cadeia: -
, -
.
-
Passo 4
Calcular as derivadas parciais gerais de
.
- Tome
. Então
- Aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
- Primeiro calcule
em : . - Então
Passo 6
Montar o plano tangente usando a fórmula e os valores obtidos.
- Usando a fórmula
substituindo os valores:
- Se quiser, pode escrever o plano em forma expandida (somente manipulação algébrica):
Passo 7
Construir a reta normal à superfície no ponto usando o vetor normal.
- Considere a função
. O gradiente é normal à superfície. Temos
- Em
o vetor normal é
- Podemos multiplicar esse vetor por
para obter um vetor de coordenadas inteiras na mesma direção:
Passo 8
Escrever a equação paramétrica da reta normal (duas formas equivalentes).
- Usando parâmetro
- Ou, usando parâmetro :
Ambas descrevem a mesma reta (só diferem pela escala do parâmetro).]
Resposta
Plano tangente:
Reta normal (forma simples):