Determine o plano tangente e a reta normal a f no ponto ( 6,2 )
f(x, y)=\ln \left(1+x y^{2}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede: o plano tangente e a reta normal à superfície definida por f no ponto (6,2).
  • Nos é dada a função
f(x,y)=\ln\bigl(1+x y^{2}\bigr).
  • Para construir o plano tangente a uma superfície z=f(x,y) em (x_0,y_0) precisamos de:
    • o ponto no espaço \bigl(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\bigr),
    • as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0).
  • Para construir a reta normal usamos um vetor normal ao plano tangente, que pode ser obtido a partir das derivadas parciais.

Passo 2

Calcular o valor de f no ponto dado (ou seja a coordenada z_0 do ponto sobre a superfície).
  • Calcular f(6,2):
f(6,2)=\ln\bigl(1+6\cdot 2^{2}\bigr)=\ln\bigl(1+6\cdot4\bigr)=\ln(25).
  • Logo o ponto sobre a superfície é \bigl(6,\,2,\,\ln(25)\bigr).

Passo 3

Lembrar a fórmula do plano tangente e a ideia das derivadas parciais (aulas rápidas).
  • Fórmula padrão do plano tangente à superfície z=f(x,y) em (x_0,y_0):
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0),
onde f_x e f_y são as derivadas parciais. Essa fórmula vem da aproximação linear (expansão de primeira ordem) de f em torno do ponto.
  • Para obter f_x e f_y lembramos que, para f(x,y)=\ln(g(x,y)), a derivada segue a regra da cadeia:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}\ln(g)=\dfrac{1}{g}\dfrac{\partial g}{\partial x},
    • \dfrac{\partial}{\partial y}\ln(g)=\dfrac{1}{g}\dfrac{\partial g}{\partial y}.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais gerais de f(x,y).
  • Tome g(x,y)=1+x y^{2}. Então
\dfrac{\partial g}{\partial x}=y^{2},\qquad \dfrac{\partial g}{\partial y}=2 x y.
  • Aplicando a regra da cadeia:
f_x(x,y)=\dfrac{y^{2}}{1+x y^{2}}, \qquad f_y(x,y)=\dfrac{2 x y}{1+x y^{2}}.

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais no ponto (6,2).
  • Primeiro calcule 1+x y^{2} em (6,2): 1+6\cdot 2^{2}=1+24=25.
  • Então
f_x(6,2)=\dfrac{2^{2}}{25}=\dfrac{4}{25}, \qquad f_y(6,2)=\dfrac{2\cdot 6\cdot 2}{25}=\dfrac{24}{25}.

Passo 6

Montar o plano tangente usando a fórmula e os valores obtidos.
  • Usando a fórmula
z = f(6,2) + f_x(6,2)\,(x-6) + f_y(6,2)\,(y-2),
substituindo os valores:
z = \ln(25) + \dfrac{4}{25}(x-6) + \dfrac{24}{25}(y-2).
  • Se quiser, pode escrever o plano em forma expandida (somente manipulação algébrica):
z = \ln(25) + \dfrac{4}{25}x - \dfrac{24}{25} + \dfrac{24}{25}y - \dfrac{48}{25} = \dfrac{4}{25}x + \dfrac{24}{25}y + \ln(25) - \dfrac{72}{25}.

Passo 7

Construir a reta normal à superfície no ponto usando o vetor normal.
  • Considere a função F(x,y,z)=z-f(x,y). O gradiente \nabla F é normal à superfície. Temos
\nabla F(x,y,z)=\bigl(-f_x(x,y),\\\ -f_y(x,y),\\\ 1\bigr).
  • Em (6,2) o vetor normal é
\mathbf{n}=\bigl(-f_x(6,2),\\\ -f_y(6,2),\\\ 1\bigr) =\Bigl(-\dfrac{4}{25},\\\ -\dfrac{24}{25},\\\ 1\Bigr).
  • Podemos multiplicar esse vetor por 25 para obter um vetor de coordenadas inteiras na mesma direção:
25\mathbf{n}=(-4,\,-24,\,25).

Passo 8

Escrever a equação paramétrica da reta normal (duas formas equivalentes).
  • Usando parâmetro t\) e o vetor \(\Bigl(-\dfrac{4}{25},-\dfrac{24}{25},1\Bigr)\): \[\begin{cases} x(t)=6 - \dfrac{4}{25}\,t,\\[4pt] y(t)=2 - \dfrac{24}{25}\,t,\\[4pt] z(t)=\ln(25) + t. \end{cases}
  • Ou, usando parâmetro s\] e o vetor inteiro \((-4,-24,25):
\begin{cases} x(s)=6 - 4s,\\[4pt] y(s)=2 - 24s,\\[4pt] z(s)=\ln(25) + 25s. \end{cases}
Ambas descrevem a mesma reta (só diferem pela escala do parâmetro).]

Resposta

Plano tangente: z=\ln(25)+\dfrac{4}{25}(x-6)+\dfrac{24}{25}(y-2)
Reta normal (forma simples): \;x=6-4s,\;y=2-24s,\;z=\ln(25)+25s

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