Calcule os máximos e mínimos locais da função no círculo dado:
círculo
círculo
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.
- Pede: calcular os máximos e mínimos locais de
restrita ao círculo dado (ou seja, extremos de sujeitos à restrição do círculo). - Função:
. - Restrição (círculo):
.
Esses são todos os dados. A resposta terá as coordenadas dos pontos do círculo onde
tem extremos (máximos e mínimos) e os respectivos valores de
nesses pontos.
Passo 2
Escolha do método e por quê (breve aula do método).
Vou usar multiplicadores de Lagrange — esse é o procedimento padrão para encontrar extremos de uma função sujeita a uma restrição de igualdade simples, como um círculo. A ideia essencial é: se
é um extremo de
sobre a curva
(onde aqui
), então os gradientes são proporcionais:
para algum escalar
(o multiplicador de Lagrange). Intuitivamente, o gradiente de
é perpendicular à curva no ponto de máximo/min; como o gradiente de
também é normal à curva, eles devem ser paralelos.
Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Escrever o sistema de equações com Lagrange e calcular gradientes.
- Defino
(a restrição é ). - Calculo os gradientes:
- A condição de Lagrange
dá o sistema
junto com a restrição
Passo 4
Tratar casos degenerados (verificar se
ou
dão solução) e simplificar o sistema.
Verifico primeiro possíveis casos especiais:
- Se
, da segunda equação segue . Mas não satisfaz a restrição . Logo . - Se
, da primeira equação segue , novamente impossível. Logo .
Como
, podemos dividir por
. Defino a razão
Vou reescrever as equações em termos de
.
Da segunda equação
obtemos
Substituo na primeira equação
:
Dividindo por
(lembre que
) e usando
obtemos
Rearranjando:
Passo 5
Resolver a equação quadrática para
e interpretar.
A equação
tem raízes dadas pela fórmula de Bhaskara:
Portanto
Cada valor de
corresponde a duas soluções
opostas (sinais trocados), porque se
satisfaz a restrição então
também (o círculo é simétrico) e as equações são homogêneas em
.
Passo 6
Determinar as coordenadas dos pontos críticos a partir de cada
.
Usamos a restrição
com
. Como
,
Agora trato cada
.
Para
:
- Calculo
. Observação útil: da equação quadrática vale , logo para qualquer raiz temos . Assim
- Então
Logo
.
- E
dá
Portanto os dois pontos associados a
são
Para
:
- Usando novamente
,
- Logo
Fazendo manipulação algébrica (ou reconhecendo quadrados) obtém-se
portanto
- Como
, calculo
Multiplicando
obtém-se
, então
Portanto os dois pontos associados a
são
Resumo dos 4 pontos críticos (no círculo):
Passo 7
Calcular os valores de
nesses pontos (a “aula” de substituição e simplificação).
A expressão de
em termos de
e
é
Usando
obtemos
E como
(raiz da quadrática), temos
e
. Portanto
Agora avalio para cada
.
Para
:
Para
:
Essa fração simplifica (multiplicando numerador e denominador convenientemente) e resulta em
Observação numérica rápida (para intuir que uma é maior e outra é menor):
Passo 8
Classificação dos extremos (máximo ou mínimo).
Dos valores encontrados,
é o maior valor obtido entre os pontos críticos e
é o menor. Como estamos no círculo (conjunto compacto) e encontramos todos os pontos críticos da restrição, esses são os extremos globais sobre a curva; localmente, cada ponto com valor
é um máximo restrito e cada ponto com
é um mínimo restrito.
Concretamente:
- Máximos restritos (dois pontos):
e com valor . - Mínimos restritos (dois pontos):
e com valor .