Calcule os máximos e mínimos locais da função no círculo dado:
f(x, y)=x^{2}+x y
círculo x^{2}+y^{2}=2+\sqrt{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pede: calcular os máximos e mínimos locais de f restrita ao círculo dado (ou seja, extremos de f sujeitos à restrição do círculo).
  • Função: f(x,y)=x^{2}+x y.
  • Restrição (círculo): x^{2}+y^{2}=2+\sqrt{2}.
Esses são todos os dados. A resposta terá as coordenadas dos pontos do círculo onde f tem extremos (máximos e mínimos) e os respectivos valores de f nesses pontos.

Passo 2

Escolha do método e por quê (breve aula do método).
Vou usar multiplicadores de Lagrange — esse é o procedimento padrão para encontrar extremos de uma função sujeita a uma restrição de igualdade simples, como um círculo. A ideia essencial é: se (x,y) é um extremo de f sobre a curva g(x,y)=0 (onde aqui g(x,y)=x^{2}+y^{2}-(2+\sqrt{2})), então os gradientes são proporcionais:
\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y)
para algum escalar \lambda (o multiplicador de Lagrange). Intuitivamente, o gradiente de f é perpendicular à curva no ponto de máximo/min; como o gradiente de g também é normal à curva, eles devem ser paralelos.
Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Escrever o sistema de equações com Lagrange e calcular gradientes.
  • Defino \;g(x,y)=x^{2}+y^{2}-(2+\sqrt{2}) (a restrição é g(x,y)=0).
  • Calculo os gradientes:
\nabla f(x,y)=\bigl(\partial_{x}f,\partial_{y}f\bigr)=(2x+y,\;x),
\nabla g(x,y)=\bigl(\partial_{x}g,\partial_{y}g\bigr)=(2x,\;2y).
  • A condição de Lagrange \nabla f=\lambda\,\nabla g dá o sistema
2x+y=2\lambda x,
x=2\lambda y,
junto com a restrição
x^{2}+y^{2}=2+\sqrt{2}.

Passo 4

Tratar casos degenerados (verificar se y=0 ou x=0 dão solução) e simplificar o sistema.
Verifico primeiro possíveis casos especiais:
  • Se y=0, da segunda equação x=2\lambda y segue x=0. Mas (x,y)=(0,0) não satisfaz a restrição x^{2}+y^{2}=2+\sqrt{2}>0. Logo y\neq0.
  • Se x=0, da primeira equação 2\cdot0+y=2\lambda\cdot0 segue y=0, novamente impossível. Logo x\neq0.
Como y\neq0, podemos dividir por y. Defino a razão
t=\frac{x}{y}.
Vou reescrever as equações em termos de t.
Da segunda equação x=2\lambda y obtemos
\lambda=\frac{x}{2y}=\frac{t}{2}.
Substituo na primeira equação 2x+y=2\lambda x:
2x+y=2\left(\frac{t}{2}\right)x = t x.
Dividindo por y (lembre que y\neq0) e usando x=ty obtemos
2t+1=t^{2}.
Rearranjando:
t^{2}-2t-1=0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática para t e interpretar.
A equação
t^{2}-2t-1=0
tem raízes dadas pela fórmula de Bhaskara:
t=\frac{2\pm\sqrt{4+4}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=1\pm\sqrt{2}.
Portanto
t_{1}=1+\sqrt{2},\qquad t_{2}=1-\sqrt{2}.
Cada valor de t corresponde a duas soluções (x,y) opostas (sinais trocados), porque se (x,y) satisfaz a restrição então (-x,-y) também (o círculo é simétrico) e as equações são homogêneas em (x,y).

Passo 6

Determinar as coordenadas dos pontos críticos a partir de cada t.
Usamos a restrição x^{2}+y^{2}=R^{2} com R^{2}=2+\sqrt{2}. Como x=ty,
t^{2}y^{2}+y^{2}=R^{2}\quad\Rightarrow\quad y^{2}=\frac{R^{2}}{t^{2}+1}.
Agora trato cada t.
Para t_{1}=1+\sqrt{2}:
  • Calculo t_{1}^{2}+1. Observação útil: da equação quadrática vale t^{2}=2t+1, logo para qualquer raiz t temos t^{2}+1=2(t+1). Assim
t_{1}^{2}+1=2(t_{1}+1)=2(2+\sqrt{2})=4+2\sqrt{2}.
  • Então
y^{2}=\frac{R^{2}}{t_{1}^{2}+1}=\frac{2+\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}.
Logo y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}.
  • E x=ty
x=(1+\sqrt{2})\left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\pm\frac{(1+\sqrt{2})\sqrt{2}}{2}=\pm\frac{2+\sqrt{2}}{2}.
Portanto os dois pontos associados a t_{1} são
\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2},\;\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \quad\text{e}\quad \left(-\frac{2+\sqrt{2}}{2},\;-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Para t_{2}=1-\sqrt{2}:
  • Usando novamente t^{2}+1=2(t+1),
t_{2}^{2}+1=2(t_{2}+1)=2(2-\sqrt{2})=4-2\sqrt{2}.
  • Logo
y^{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}}.
Fazendo manipulação algébrica (ou reconhecendo quadrados) obtém-se
y^{2}=\frac{3+2\sqrt{2}}{2}=\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)^{2},
portanto
y=\pm\frac{2+\sqrt{2}}{2}.
  • Como x=ty=(1-\sqrt{2})y, calculo
x=(1-\sqrt{2})\left(\pm\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)=\pm\left(\frac{(1-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}{2}\right).
Multiplicando (1-\sqrt{2})(2+\sqrt{2}) obtém-se -\sqrt{2}, então
x=\pm\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\mp\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto os dois pontos associados a t_{2} são
\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\;\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right) \quad\text{e}\quad \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\;-\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right).
Resumo dos 4 pontos críticos (no círculo):
P_{1}=\Bigl(\frac{2+\sqrt{2}}{2},\;\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr),\qquad P_{2}=\Bigl(-\frac{2+\sqrt{2}}{2},\;-\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr),
P_{3}=\Bigl(-\frac{\sqrt{2}}{2},\;\frac{2+\sqrt{2}}{2}\Bigr),\qquad P_{4}=\Bigl(\frac{\sqrt{2}}{2},\;-\frac{2+\sqrt{2}}{2}\Bigr).

Passo 7

Calcular os valores de f nesses pontos (a “aula” de substituição e simplificação).
A expressão de f em termos de t e y é
f=x^{2}+x y = t^{2}y^{2}+t y^{2}=y^{2}(t^{2}+t).
Usando y^{2}=\dfrac{R^{2}}{t^{2}+1} obtemos
f=\dfrac{R^{2}(t^{2}+t)}{t^{2}+1}.
E como t^{2}=2t+1 (raiz da quadrática), temos t^{2}+t=3t+1 e t^{2}+1=2(t+1). Portanto
f=R^{2}\cdot\frac{3t+1}{2(t+1)}.
Agora avalio para cada t.
Para t_{1}=1+\sqrt{2}:
f_{1}= (2+\sqrt{2})\cdot\frac{3(1+\sqrt{2})+1}{2(1+\sqrt{2}+1)} = (2+\sqrt{2})\cdot\frac{4+3\sqrt{2}}{2(2+\sqrt{2})} = \frac{4+3\sqrt{2}}{2}.
Para t_{2}=1-\sqrt{2}:
f_{2}= (2+\sqrt{2})\cdot\frac{3(1-\sqrt{2})+1}{2(1-\sqrt{2}+1)} = (2+\sqrt{2})\cdot\frac{4-3\sqrt{2}}{2(2-\sqrt{2})}.
Essa fração simplifica (multiplicando numerador e denominador convenientemente) e resulta em
f_{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Observação numérica rápida (para intuir que uma é maior e outra é menor):
f_{1}=\frac{4+3\sqrt{2}}{2}\approx\frac{4+4{,}2426}{2}\approx4{,}1213, \qquad f_{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx-0{,}7071.

Passo 8

Classificação dos extremos (máximo ou mínimo).
Dos valores encontrados, f_{1} é o maior valor obtido entre os pontos críticos e f_{2} é o menor. Como estamos no círculo (conjunto compacto) e encontramos todos os pontos críticos da restrição, esses são os extremos globais sobre a curva; localmente, cada ponto com valor f_{1} é um máximo restrito e cada ponto com f_{2} é um mínimo restrito.
Concretamente:
  • Máximos restritos (dois pontos): P_{1} e P_{2} com valor f=\dfrac{4+3\sqrt{2}}{2}.
  • Mínimos restritos (dois pontos): P_{3} e P_{4} com valor f=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\displaystyle\text{Máximos restritos: } \Bigl(\frac{2+\sqrt{2}}{2},\;\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)á e \displaystyle\Bigl(-\frac{2+\sqrt{2}}{2},\;-\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) com f=\dfrac{4+3\sqrt{2}}{2}.\n \displaystyle\text{Mínimos restritos: } \Bigl(-\frac{\sqrt{2}}{2},\;\frac{2+\sqrt{2}}{2}\Bigr)í e \displaystyle\Bigl(\frac{\sqrt{2}}{2},\;-\frac{2+\sqrt{2}}{2}\Bigr) com f=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

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