Calcule os máximos e mínimos locais da função no círculo dado:
círculo
círculo
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os máximos e mínimos locais da função
restrita ao círculo dado. Informações fornecidas:
- Função:
. - Região de restrição: o círculo
. - Objetivo: determinar os pontos do círculo onde
tem extremos locais (máximos ou mínimos) e, quando possível, classificar cada ponto (máximo ou mínimo) e dar o valor de nesses pontos.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática e justificativa). Vou parametrizar o círculo usando um ângulo
. Por que parametrizar? Porque o círculo é uma curva fechada de raio
centrada em
; parametrizar converte o problema em uma função de uma variável (
), e aí usamos cálculo de uma variável (derivada e teste da segunda derivada) para encontrar extremos. Essa é uma abordagem direta, simples de acompanhar e que evita sistemas de equações com multiplicadores de Lagrange — prática em provas quando a restrição é uma curva fácil de parametrizar.
Parametrização do círculo (centro
, raio
):
Passo 3
Escrever
como função de
. Substituindo a parametrização em
:
Vou simplificar um pouco a expressão só para ficar mais clara (opcional):
portanto
Isso é agora uma função de uma variável
, e os extremos de
restrita ao círculo correspondem aos extremos de
em
.
Passo 4
Calcular a derivada
e encontrar os pontos críticos. Vamos derivar termo a termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . Como , tem-se .
Assim
Fatorando:
Pontos críticos ocorrem quando
, ou seja,
Passo 5
Resolver a equação
em
.
- Caso
: isso ocorre em e . - Caso
: isto é . Em as soluções são
Portanto há quatro valores críticos de
no intervalo considerado.
Passo 6
Calcular os pontos
do círculo correspondentes a cada
.
- Para
: . Logo
- Para
: . Logo
- Para
: . Logo
- Para
: . Logo
Passo 7
Calcular os valores de
nesses pontos (para comparar e identificar máximo/minimo).
- Em
:
- Em
:
- Em
:
logo
Resumo dos valores:
.
Passo 8
Classificar cada ponto como máximo ou mínimo local usando a segunda derivada (teste da segunda derivada para função univariada
).
Primeiro obtemos
. Partindo de
, derivamos:
Podemos avaliar diretamente em cada
.
- Em
( ):
logo
é um ponto de máximo local (concavidade negativa).
- Em
( ):
logo
também é um ponto de máximo local (mesmo que o valor
aí seja menor que o máximo global).
- Em
e ( ):
Compute
, mas é mais direto usar o valor numérico geral: ao substituir
e
,
Portanto ambos esses pontos são mínimos locais (concavidade positiva).
Observação final sobre globalidade: como a curva é fechada e contínua, os maiores e menores valores entre os críticos são respectivamente o máximo global e o mínimo global. Aqui o maior valor é
em
(máximo global) e o menor valor é
em
(mínimos globais).
Resposta
Máximos locais:
com
e
com
.
Mínimos locais: e
, ambos com
.
Mínimos locais: