Calcule os máximos e mínimos locais da função: f(x, y)=-\ln (x+y)+x^{2}+\frac{y}{2}
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=-\ln(x+y)+x^{2}+\dfrac{y}{2} e pede para calcular os máximos e mínimos locais. Informações relevantes dadas ou que precisamos notar:
O domínio natural da função é \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y>0\} porque -\ln(x+y) exige x+y>0.
A tarefa é encontrar pontos críticos (onde o gradiente é nulo ou não existe) dentro do domínio e classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou sela (usando o teste das segundas derivadas).
Vou procurar todos os pontos críticos no domínio e classificá-los.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais primeiras (o gradiente). Explicando antes: a derivada parcial de f em relação a x trata y como constante; quando aparece -\ln(x+y) usamos a regra da cadeia: a derivada de \ln(u) é 1/u e depois multiplicamos por u'.
Então y = 2 - x = 2 - \tfrac{1}{4} = \tfrac{7}{4}.
Verificação rápida: x+y=2>0, logo o ponto \bigl(\tfrac{1}{4},\tfrac{7}{4}\bigr) está no domínio. Não há outras soluções (não existe solução com x+y diferente de 2 porque f_y=0 força x+y=2). Assim temos exatamente um ponto crítico: \bigl(\tfrac{1}{4},\tfrac{7}{4}\bigr).
Passo 4
Para classificar o ponto crítico usamos as segundas derivadas e o determinante da Hessiana. Primeiro obtenha as segundas derivadas (explico como: derivar as derivadas parciais anteriores).
Note que D(x,y)=\dfrac{2}{(x+y)^{2}}>0 para todo (x,y) no domínio (já que x+y\neq0 no domínio). Agora avalie em \bigl(\tfrac{1}{4},\tfrac{7}{4}\bigr) onde x+y=2:
Resumo da classificação: há um único ponto crítico no domínio, é um mínimo local, não existem máximos locais (nenhum ponto crítico com f_{xx}<0 aparece) e não há outros pontos críticos.
Resposta
Mínimo local em \left(\tfrac{1}{4},\tfrac{7}{4}\right) com valor f\left(\tfrac{1}{4},\tfrac{7}{4}\right)=\dfrac{15}{16}-\ln 2.
Não há máximos locais.