Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha \oint_{C} F \cdot d r, onde
F(x, y, z)=\left(x^{2}+2 y^{3}, x y^{2}, \sqrt[3]{z^{2}+1}\right)
e C é uma circunferência contida no plano z=2 com raio a>0 e centrada no ponto (0, 0, 2).
Passo 1
O enunciado dá a campo vetorial F e a curva C:
F(x,y,z)=\bigl(x^{2}+2y^{3},\; x y^{2},\; \sqrt[3]{z^{2}+1}\bigr)
A curva C é uma circunferência contida no plano z=2, de raio a>0, centrada em (0,0,2). A tarefa é calcular a integral de linha fechada
\oint_{C} F\cdot d r.
Passo 2
Vou usar o Teorema de Stokes. Vou explicar direitinho o que ele diz e como aplicamos:
Teorema de Stokes (forma usada aqui): se S é uma superfície suave e orientada com bordo \partial S=C, e F é um campo vetorial com derivadas parciais contínuas numa vizinhança de S, então
\oint_{C} F\cdot d r=\iint_{S} (\nabla\times F)\cdot \mathbf{n}\,dS,
onde \nabla\times F é o rotacional (curl) de F e \mathbf{n} é o versor normal à superfície S compatível com a orientação de C (regra da mão direita).
Intuição curta: em vez de integrar F ao longo do contorno C, integremos o rotacional de F sobre a superfície cujo contorno é C. Isso costuma simplificar quando escolhemos uma superfície simples (aqui, o disco plano).
Passo 3
Calcular o rotacional \nabla\times F. Para F=(P,Q,R) com P=x^{2}+2y^{3}, Q= x y^{2}, R=\sqrt[3]{z^{2}+1}=(z^{2}+1)^{1/3}, a definição é
Escolha da superfície S. Como C é a circunferência no plano z=2 de raio a centrada na origem projetada, uma escolha natural e simples é o disco plano
S=\{(x,y,2)\mid x^{2}+y^{2}\le a^{2}\},
cujo bordo \partial S é exatamente C. Vou tomar a orientação normal para cima, isto é o versor unitário
\mathbf{n}=(0,0,1).
(Lembrete: essa escolha corresponde a orientar C no sentido anti-horário visto do observador que olha na direção positiva do eixo z. Se a orientação de C fosse a oposta, o sinal do resultado mudaria.)
Passo 5
Calcular o produto escalar (\nabla\times F)\cdot \mathbf{n} sobre S: