Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha \oint_{C} F \cdot d r, onde
F(x, y, z)=\left(x^{2}+2 y^{3}, x y^{2}, \sqrt[3]{z^{2}+1}\right)
e C é uma circunferência contida no plano z=2 com raio a>0 e centrada no ponto (0, 0, 2).

Passo 1

O enunciado dá a campo vetorial F e a curva C:
F(x,y,z)=\bigl(x^{2}+2y^{3},\; x y^{2},\; \sqrt[3]{z^{2}+1}\bigr)
A curva C é uma circunferência contida no plano z=2, de raio a>0, centrada em (0,0,2). A tarefa é calcular a integral de linha fechada
\oint_{C} F\cdot d r.

Passo 2

Vou usar o Teorema de Stokes. Vou explicar direitinho o que ele diz e como aplicamos:
  • Teorema de Stokes (forma usada aqui): se S é uma superfície suave e orientada com bordo \partial S=C, e F é um campo vetorial com derivadas parciais contínuas numa vizinhança de S, então
\oint_{C} F\cdot d r=\iint_{S} (\nabla\times F)\cdot \mathbf{n}\,dS,
onde \nabla\times F é o rotacional (curl) de F e \mathbf{n} é o versor normal à superfície S compatível com a orientação de C (regra da mão direita).
  • Intuição curta: em vez de integrar F ao longo do contorno C, integremos o rotacional de F sobre a superfície cujo contorno é C. Isso costuma simplificar quando escolhemos uma superfície simples (aqui, o disco plano).

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times F. Para F=(P,Q,R) com P=x^{2}+2y^{3}, Q= x y^{2}, R=\sqrt[3]{z^{2}+1}=(z^{2}+1)^{1/3}, a definição é
\nabla\times F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Calculando as derivadas parciais relevantes:
  • \dfrac{\partial R}{\partial y}=0 porque R depende só de z.
  • \dfrac{\partial Q}{\partial z}=0 porque Q depende só de x,y.
  • \dfrac{\partial P}{\partial z}=0 porque P depende só de x,y.
  • \dfrac{\partial R}{\partial x}=0 porque R não depende de x.
  • \dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x y^{2})=y^{2}.
  • \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}+2y^{3})=6y^{2}.
Portanto
\nabla\times F=(0-0,\;0-0,\;y^{2}-6y^{2})=(0,0,-5y^{2}).

Passo 4

Escolha da superfície S. Como C é a circunferência no plano z=2 de raio a centrada na origem projetada, uma escolha natural e simples é o disco plano
S=\{(x,y,2)\mid x^{2}+y^{2}\le a^{2}\},
cujo bordo \partial S é exatamente C. Vou tomar a orientação normal para cima, isto é o versor unitário
\mathbf{n}=(0,0,1).
(Lembrete: essa escolha corresponde a orientar C no sentido anti-horário visto do observador que olha na direção positiva do eixo z. Se a orientação de C fosse a oposta, o sinal do resultado mudaria.)

Passo 5

Calcular o produto escalar (\nabla\times F)\cdot \mathbf{n} sobre S:
(\nabla\times F)\cdot \mathbf{n}=(0,0,-5y^{2})\cdot(0,0,1)=-5y^{2}.

Passo 6

Aplicar Stokes transformando a integral de linha na integral de superfície:
\oint_{C}F\cdot d r=\iint_{S}(\nabla\times F)\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{D}-5y^{2}\,dS,
onde D é o disco planar x^{2}+y^{2}\le a^{2} no plano z=2. Como S é horizontal, dS=dA (a área no plano xy). Então
\oint_{C}F\cdot d r=-5\iint_{D} y^{2}\,dA.

Passo 7

Calcular a integral dupla em coordenadas polares. Em polares usamos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, dA=r\,dr\,d\theta. Assim y^{2}=r^{2}\sin^{2}\theta e
\iint_{D} y^{2}\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} \bigl(r^{2}\sin^{2}\theta\bigr)\, r\,dr\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta\;\int_{0}^{a} r^{3}\,dr.
Calcule as duas integrais separadas:
\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\pi,
pois \sin^{2}\theta tem média 1/2 ao longo de um período de comprimento 2\pi.
\int_{0}^{a} r^{3}\,dr=\left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{a}=\frac{a^{4}}{4}.
Logo
\iint_{D} y^{2}\,dA=\pi\cdot\frac{a^{4}}{4}=\frac{\pi a^{4}}{4}.

Passo 8

Voltar para a integral original multiplicando pelo fator -5:
\oint_{C}F\cdot d r=-5\cdot \frac{\pi a^{4}}{4}=-\frac{5\pi a^{4}}{4}.
Esse é o valor final quando C está orientada anti-horariamente vista de +\!z. Se a orientação de C for a contrária, o resultado teria sinal trocado.

Resposta

-\dfrac{5\pi a^{4}}{4}

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