Calcule a média arimética, a moda(Fórmula de Czuber) e a mediana(Fórmula de Czuber) das distribuições abaixo:
x_{i} 1 2 3 4 5 6
f_{i} 2 4 6 8 3 1

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição de frequências com as seguintes classes (valores) e frequências:
\begin{array}{c|cccccc} x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\hline f_i & 2 & 4 & 6 & 8 & 3 & 1 \end{array}
O que precisamos calcular:
  1. a média aritmética;
  2. a moda usando a Fórmula de Czuber;
  3. a mediana usando a Fórmula de Czuber.
Informações relevantes que vamos usar: cada x_i é o valor da classe, f_i é a frequência absoluta dessa classe. A soma das frequências será n=\sum f_i. Também será útil a soma ponderada \sum x_i f_i. Para moda e mediana usaremos formas interpoladas (Fórmula de Czuber) tratando cada x_i como centro de uma classe de amplitude h=1 (limites das classes: x_i\pm 0{,}5) — explico e justifico essa escolha nos passos seguintes.

Passo 2

Vamos calcular a média aritmética passo a passo.
Fórmula da média aritmética para distribuição em frequência:
\bar{x}=\frac{\sum_{i} x_i f_i}{\sum_{i} f_i}.
Aqui x_i é o valor da classe, f_i é a frequência, \sum_i f_i é o total de observações n, e \sum_i x_i f_i é a soma ponderada dos valores pelas frequências.
Calculemos \sum_i f_i:
n=\sum_i f_i = 2+4+6+8+3+1 = 24.
Agora calculemos \sum_i x_i f_i passo a passo:
\begin{aligned} \sum_i x_i f_i &= 1\cdot 2 + 2\cdot 4 + 3\cdot 6 + 4\cdot 8 + 5\cdot 3 + 6\cdot 1\\\ &= 2 + 8 + 18 + 32 + 15 + 6\\\ &= 81. \end{aligned}
Portanto a média é
\bar{x}=\frac{81}{24}.
Simplificando a fração:
\frac{81}{24}=\frac{27}{8}=3{,}375.
Ou seja, a média aritmética é \bar{x}=3{,}375.

Passo 3

Agora vamos à moda usando a Fórmula de Czuber — explicando a fórmula e cada termo.
O que é a moda aqui? A moda é o valor em torno do qual a distribuição tem maior frequência (o valor mais frequente). Se tivéssemos classes agrupadas, acostumamos interpolar dentro da classe modal para obter uma moda mais precisa. A Fórmula de Czuber faz essa interpolação.
Fórmula de Czuber para a moda (distribuição agrupada):
\tilde{x}=L+\dfrac{f_m-f_{m-1}}{2f_m-f_{m-1}-f_{m+1}}\,h.
Explicando cada termo:
  • L é o limite inferior da classe modal (a borda esquerda dessa classe).
  • f_m é a frequência absoluta da classe modal (a maior frequência).
  • f_{m-1} é a frequência da classe imediatamente anterior à modal.
  • f_{m+1} é a frequência da classe imediatamente posterior à modal.
  • h é a amplitude (largura) da classe.
    Essa fórmula faz uma interpolação dentro da classe modal, assumindo classes de mesma largura.
No nosso caso os x_i são valores inteiros (1,2,3,4,5,6). Vamos tratar cada x_i como o centro de uma classe de largura h=1 (limites x_i-0{,}5 e x_i+0{,}5). Assim o limite inferior L da classe cujo centro é x_i é L = x_i - 0{,}5.
Primeiro identifique a classe modal (a de maior frequência). Observando as frequências:
f_1=2,\; f_2=4,\; f_3=6,\; f_4=8,\; f_5=3,\; f_6=1.
A maior frequência é f_4=8, então a classe modal tem centro x_m=4. Logo:
  • f_m=f_4=8.
  • f_{m-1}=f_3=6.
  • f_{m+1}=f_5=3.
  • h=1.
  • L = x_m - 0{,}5 = 4 - 0{,}5 = 3{,}5.
Agora aplicamos a fórmula:
Calcule o numerador f_m-f_{m-1}=8-6=2.
Calcule o denominador 2f_m-f_{m-1}-f_{m+1}=2\cdot 8 - 6 - 3 = 16 - 9 = 7.
A fração é \dfrac{2}{7}.
Logo a moda interpolada é
\tilde{x} = 3{,}5 + \frac{2}{7}\cdot 1 = 3{,}5 + \frac{2}{7}.
Podemos escrever isso em forma de fração inteira:
3{,}5+\frac{2}{7} = 3 + \frac{1}{2} + \frac{2}{7} = 3 + \frac{7+4}{14} = 3 + \frac{11}{14} = \frac{53}{14}.
Em decimal:
\tilde{x} = \frac{53}{14} \approx 3{,}785714\ldots
Então a moda pela Fórmula de Czuber é \tilde{x}=\dfrac{53}{14}\approx 3{,}785714.

Passo 4

Agora a mediana usando a Fórmula de Czuber — novamente com explicação.
Definição prática da mediana para uma amostra ordenada de tamanho n:
  • Se n é ímpar, a mediana é o valor da observação na posição \frac{n+1}{2}.
  • Se n é par, a mediana é a média dos valores nas posições \frac{n}{2} e \frac{n}{2}+1.
Para interpolar em classes (Fórmula de Czuber) usamos:
M = L + \frac{\frac{n}{2}-F_b}{f_{med}}\,h,
onde:
  • L é o limite inferior da classe mediana;
  • F_b é a frequência acumulada antes da classe mediana (soma das frequências das classes anteriores);
  • f_{med} é a frequência da classe mediana;
  • h é a largura da classe;
  • \frac{n}{2} é metade do total de observações.
Primeiro calculemos as frequências acumuladas para decidir a classe mediana:
\begin{aligned} F_1 &= 2,\\\ F_2 &= 2+4=6,\\\ F_3 &= 6+6=12,\\\ F_4 &= 12+8=20,\\\ F_5 &= 20+3=23,\\\ F_6 &= 23+1=24. \end{aligned}
Temos n=24 e \dfrac{n}{2}=12.
Agora há uma sutileza: como \dfrac{n}{2}=12 coincide exatamente com F_3=12, há ambiguidade sobre qual é a “classe mediana” para aplicação da fórmula. Para esclarecer e escolher um procedimento coerente com a definição clássica da mediana (média das observações nas posições 12 e 13), note que:
  • a 12ª observação tem valor x=3 (última da classe x=3);
  • a 13ª observação tem valor x=4 (primeira da classe x=4).
    Logo a mediana usual (não interpolada) é (3+4)/2=3{,}5.
Para que a Fórmula de Czuber produza esse mesmo resultado, escolhemos a classe mediana como a classe seguinte ( x=4) — isto é uma escolha prática comum quando \frac{n}{2} coincide com uma frequência acumulada: tomamos a próxima classe para a interpolação. Com isso:
  • classe mediana tem centro x=4; limites da classe são 3{,}5 (inferior) e 4{,}5 (superior), então L=3{,}5;
  • F_b (acumulada antes dessa classe) é F_3=12;
  • f_{med}=f_4=8;
  • h=1;
  • \dfrac{n}{2}=12.
Substituindo na fórmula:
M = 3{,}5 + \frac{12 - 12}{8}\cdot 1 = 3{,}5 + 0 = 3{,}5.
Isso coincide com o cálculo direto pela definição (média do 12º e do 13º valores): \dfrac{3+4}{2}=3{,}5.
Portanto a mediana (pela Fórmula de Czuber, com a escolha explicada) é 3{,}5.

Resposta

\bar{x}=3{,}375
\text{Moda (Czuber)}=\dfrac{53}{14}\approx 3{,}785714
\text{Mediana (Czuber)}=3{,}5

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