Calcule a média arimética, a moda(Fórmula de Czuber) e a mediana(Fórmula de Czuber) das distribuições abaixo:
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2
3
4
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2
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6
8
3
1
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1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
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2 | 4 | 6 | 8 | 3 | 1 |
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição de frequências com as seguintes classes (valores) e frequências:
O que precisamos calcular:
- a média aritmética;
- a moda usando a Fórmula de Czuber;
- a mediana usando a Fórmula de Czuber.
Informações relevantes que vamos usar: cada
é o valor da classe,
é a frequência absoluta dessa classe. A soma das frequências será
. Também será útil a soma ponderada
. Para moda e mediana usaremos formas interpoladas (Fórmula de Czuber) tratando cada
como centro de uma classe de amplitude
(limites das classes:
) — explico e justifico essa escolha nos passos seguintes.
Passo 2
Vamos calcular a média aritmética passo a passo.
Fórmula da média aritmética para distribuição em frequência:
Aqui
é o valor da classe,
é a frequência,
é o total de observações
, e
é a soma ponderada dos valores pelas frequências.
Calculemos
:
Agora calculemos
passo a passo:
Portanto a média é
Simplificando a fração:
Ou seja, a média aritmética é
.
Passo 3
Agora vamos à moda usando a Fórmula de Czuber — explicando a fórmula e cada termo.
O que é a moda aqui? A moda é o valor em torno do qual a distribuição tem maior frequência (o valor mais frequente). Se tivéssemos classes agrupadas, acostumamos interpolar dentro da classe modal para obter uma moda mais precisa. A Fórmula de Czuber faz essa interpolação.
Fórmula de Czuber para a moda (distribuição agrupada):
Explicando cada termo:
-
é o limite inferior da classe modal (a borda esquerda dessa classe). -
é a frequência absoluta da classe modal (a maior frequência). -
é a frequência da classe imediatamente anterior à modal. -
é a frequência da classe imediatamente posterior à modal. -
é a amplitude (largura) da classe.
Essa fórmula faz uma interpolação dentro da classe modal, assumindo classes de mesma largura.
No nosso caso os
são valores inteiros (1,2,3,4,5,6). Vamos tratar cada
como o centro de uma classe de largura
(limites
e
). Assim o limite inferior
da classe cujo centro é
é
.
Primeiro identifique a classe modal (a de maior frequência). Observando as frequências:
A maior frequência é
, então a classe modal tem centro
. Logo:
-
. -
. -
. -
. -
.
Agora aplicamos a fórmula:
Calcule o numerador
.
Calcule o denominador
.
A fração é
.
Logo a moda interpolada é
Podemos escrever isso em forma de fração inteira:
Em decimal:
Então a moda pela Fórmula de Czuber é
.
Passo 4
Agora a mediana usando a Fórmula de Czuber — novamente com explicação.
Definição prática da mediana para uma amostra ordenada de tamanho
:
- Se
é ímpar, a mediana é o valor da observação na posição . - Se
é par, a mediana é a média dos valores nas posições e .
Para interpolar em classes (Fórmula de Czuber) usamos:
onde:
-
é o limite inferior da classe mediana; -
é a frequência acumulada antes da classe mediana (soma das frequências das classes anteriores); -
é a frequência da classe mediana; -
é a largura da classe; -
é metade do total de observações.
Primeiro calculemos as frequências acumuladas para decidir a classe mediana:
Temos
e
.
Agora há uma sutileza: como
coincide exatamente com
, há ambiguidade sobre qual é a “classe mediana” para aplicação da fórmula. Para esclarecer e escolher um procedimento coerente com a definição clássica da mediana (média das observações nas posições 12 e 13), note que:
- a 12ª observação tem valor
(última da classe ); - a 13ª observação tem valor
(primeira da classe ).
Logo a mediana usual (não interpolada) é.
Para que a Fórmula de Czuber produza esse mesmo resultado, escolhemos a classe mediana como a classe seguinte (
) — isto é uma escolha prática comum quando
coincide com uma frequência acumulada: tomamos a próxima classe para a interpolação. Com isso:
- classe mediana tem centro
; limites da classe são (inferior) e (superior), então ; -
(acumulada antes dessa classe) é ; -
; -
; -
.
Substituindo na fórmula:
Isso coincide com o cálculo direto pela definição (média do 12º e do 13º valores):
.
Portanto a mediana (pela Fórmula de Czuber, com a escolha explicada) é
.