Calcule a média da função f(x) = 2x^2 + 3 no intervalo [0, 1].

Passo 1

O exercício pede pra encontrar o valor médio da função f(x)=2x^2+3 no intervalo [0,1]. Esse conteúdo faz parte de valor médio de funções, e vamos precisar usar a definição de média como integral da função dividida pelo comprimento do intervalo.

Passo 2

A definição de valor médio f de uma função contínua f em [a,b] é
f=1b-aintegrala^b f(x),dx
Aplicando aos nossos valores, temos a=0, b=1 e f(x)=2x^2+3, logo
f=11-0integral0^1(2x^2+3),dx

Passo 3

Agora vamos calcular a integral. Primeiro separamos as parcelas:
integral0^1(2x^2+3),dx= integral0^1 2x^2,dx+integral0^1 3,dx
Usando integral x^n dx=x^n+1n+1 e integral c,dx=c x, obtemos
integral0^1 2x^2,dx=2cdotx^33|0^1=23,
integral0^1 3,dx=3x|0^1=3

Passo 4

Somando as duas parcelas:
integral0^1(2x^2+3),dx=23+3=2+93=113
Como dividimos por 1-0=1, o valor médio não muda.

Passo 5

Portanto, o valor médio da função no intervalo [0,1] é

Resposta

113

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