Dados:
l Massa =integralC de
Parametrização:
C:l x(t)=t y(t)=t com 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que envolve calcular a massa de um objeto ao longo de uma curva usando integrais de linha. O assunto aqui é Cálculo de Integrais de Linha e vamos precisar entender como parametrizar uma curva e aplicar a fórmula da massa em termos de integrais. Vamos destrinchar isso juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer. A massa ( M) de um objeto distribuído ao longo de uma curva C é dada pela integral de linha:
M = integralC de
Aqui, de representa a densidade do objeto no ponto (x, y) da curva, e ds é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva.

Passo 3

Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a curva C em termos de um parâmetro t. A parametrização fornecida é:
C: x(t) = t y(t) = t com 0 <= t <= 1
Isso significa que à medida que t varia de 0 a 1, estamos percorrendo a curva C onde x e y aumentam de forma igual.

Passo 4

A fórmula geral para a integral de linha é:
integralC f(x, y) , ds = integrala^b f(x(t), y(t)) raiz[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 , dt
No nosso caso, f(x, y) é a densidade de, então a massa fica:
M = integral0^1 de

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas das funções x(t) e y(t):
x(t) = t implies x'(t) = dxdt = 1
y(t) = t implies y'(t) = dydt = 1

Passo 6

Substituindo x'(t) e y'(t) na expressão do comprimento do arco raiz[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2, temos:
raiz(1)^2 + (1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2

Passo 7

Agora, substituímos tudo na fórmula da massa:
M = integral0^1 de

Resposta

A massa é igual a raiz2 vezes a integral de de de 0 a 1. Ou seja,
M = raiz2 integral0^1 de

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