Dados:
Parametrização:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício que envolve calcular a massa de um objeto ao longo de uma curva usando integrais de linha. O assunto aqui é Cálculo de Integrais de Linha e vamos precisar entender como parametrizar uma curva e aplicar a fórmula da massa em termos de integrais. Vamos destrinchar isso juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer. A massa (
) de um objeto distribuído ao longo de uma curva
é dada pela integral de linha:
Aqui,
representa a densidade do objeto no ponto
da curva, e
é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva.
Passo 3
Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a curva
em termos de um parâmetro
. A parametrização fornecida é:
Isso significa que à medida que
varia de 0 a 1, estamos percorrendo a curva
onde
e
aumentam de forma igual.
Passo 4
A fórmula geral para a integral de linha é:
No nosso caso,
é a densidade
, então a massa fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas das funções
e
:
Passo 6
Substituindo
e
na expressão do comprimento do arco
, temos:
Passo 7
Agora, substituímos tudo na fórmula da massa:
Resposta
A massa é igual a
vezes a integral de
de 0 a 1. Ou seja,