Calcule a média da função f(x) = x^3 no intervalo [0, 3].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a média da função f(x)=x^3 no intervalo [0,3]. Isso é um problema de valor médio de função contínua, onde vamos usar a definição de valor médio baseada em integrais.

Passo 2

A definição de valor médio bar f de uma função f no intervalo [a,b] é dada por
bar f = 1b-a integrala^b f(x) , dx
Aqui temos a=0 e b=3, então
bar f = 13-0 integral0^3 x^3 , dx = 13 integral0^3 x^3 , dx .

Passo 3

Agora precisamos calcular a integral integral0^3 x^3 , dx. Sabendo que uma primitiva de x^3 é x^4/4, temos
integral0^3 x^3 , dx = [x^44]0^3 .

Passo 4

Vamos avaliar o resultado da primitiva nos limites de integração:
[x^44]0^3 = 3^44 - 0^44 = 814 - 0 = 814 .

Passo 5

Substituindo de volta na fórmula do valor médio:
bar f = 13 cdot 814 = 8112 = 274

Resposta

274

Exercícios relacionados