Exercs. 33-36: Ref. Exercício 32. Ache o grau
da função homogênea
e verifique a fórmula
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o grau $ n $ de uma função homogênea $ f(x, y) $ e depois verificar uma fórmula relacionada a essa função. Vamos precisar entender o que é uma função homogênea, como encontrar o grau dela e como calcular derivadas parciais. A função que vamos trabalhar é:
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função homogênea. Uma função $ f(x, y) $ é homogênea de grau $ n $ se, ao multiplicarmos todas as suas variáveis por um número $ \lambda $, a função inteira é multiplicada por $ \lambda^n $. Matematicamente, isso é:
Nosso objetivo aqui é encontrar esse $ n $.
Passo 3
Vamos examinar cada termo da função $ f(x, y) = 2x^{3} + 3x^{2} y + y^{3} $:
- O primeiro termo é $ 2x^{3} $. Aqui, a soma dos expoentes é $ 3 $ (já que $ y $ não aparece).
- O segundo termo é $ 3x^{2} y $. A soma dos expoentes é $ 2 + 1 = 3 $.
- O terceiro termo é $ y^{3} $. A soma dos expoentes é $ 3 $.
Como todos os termos têm a soma dos expoentes igual a 3, a função é homogênea de grau $ n = 3 $.
Passo 4
Agora, vamos verificar a fórmula dada:
Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 5
Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
Agora, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Passo 6
Vamos substituir $ f_{x} $ e $ f_{y} $ na fórmula:
Agora, calculamos $ n f(x, y) $ com $ n = 3 $:
Perceba que $ x f_{x} + y f_{y} $ é igual a $ 3f(x, y) $, confirmando a fórmula.
Resposta
O grau da função $ f(x, y) $ é $ n = 3 $, e a fórmula $ x f_{x} + y f_{y} = 3 f(x, y) $ está verificada.