Exercs. 33-36: Ref. Exercício 32. Ache o grau n da função homogênea f e verifique a fórmula
x fx(x, y)+y fy(x, y)=n f(x, y)
f(x, y)=2 x^3+3 x^2 y+y^3

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o grau $ n $ de uma função homogênea $ f(x, y) $ e depois verificar uma fórmula relacionada a essa função. Vamos precisar entender o que é uma função homogênea, como encontrar o grau dela e como calcular derivadas parciais. A função que vamos trabalhar é:
n

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função homogênea. Uma função $ f(x, y) $ é homogênea de grau $ n $ se, ao multiplicarmos todas as suas variáveis por um número $ \lambda $, a função inteira é multiplicada por $ \lambda^n $. Matematicamente, isso é:
f(x, y)
Nosso objetivo aqui é encontrar esse $ n $.

Passo 3

Vamos examinar cada termo da função $ f(x, y) = 2x^{3} + 3x^{2} y + y^{3} $:
  • O primeiro termo é $ 2x^{3} $. Aqui, a soma dos expoentes é $ 3 $ (já que $ y $ não aparece).
  • O segundo termo é $ 3x^{2} y $. A soma dos expoentes é $ 2 + 1 = 3 $.
  • O terceiro termo é $ y^{3} $. A soma dos expoentes é $ 3 $.
Como todos os termos têm a soma dos expoentes igual a 3, a função é homogênea de grau $ n = 3 $.

Passo 4

Agora, vamos verificar a fórmula dada:
x fx(x, y) + y fy(x, y) = n f(x, y)
Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 5

Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
f
Agora, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
x

Passo 6

Vamos substituir $ f_{x} $ e $ f_{y} $ na fórmula:
fx
Agora, calculamos $ n f(x, y) $ com $ n = 3 $:
fy
Perceba que $ x f_{x} + y f_{y} $ é igual a $ 3f(x, y) $, confirmando a fórmula.

Resposta

O grau da função $ f(x, y) $ é $ n = 3 $, e a fórmula $ x f_{x} + y f_{y} = 3 f(x, y) $ está verificada.

Exercícios relacionados