Calcule a média, a moda e a mediana das distribuições abaixo:
NOTAS
2
3
4
5
6
7
8
9
10
NE
ALUNOS
1
3
6
10
13
8
5
3
1
| NOTAS | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
|
1 | 3 | 6 | 10 | 13 | 8 | 5 | 3 | 1 |
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a média, a moda e a mediana da distribuição de notas. \n
Informações dadas (retirei da tabela do enunciado):\n
Informações dadas (retirei da tabela do enunciado):\n
- As notas possíveis (valores) são
.\n - As respectivas frequências (número de alunos) são
.\n
Portanto temos pares (nota, frequência):\n
.\n
Nada mais será assumido além desses números; a resolução começa a seguir.
Passo 2
Calcular o total de observações
— isto é, somar todas as frequências. Vou mostrar a soma passo a passo para você poder fazer na prova sem erro.\n
Agora somando em blocos (para ficar mais fácil de acompanhar):\n
Logo
Explicação curta:
é o total de alunos; é importante porque média e mediana dependem dele.
Passo 3
Calcular a média aritmética da distribuição. Primeiro a fórmula e explicação didática:\n
- Fórmula da média para dados com frequência:\n
onde
é cada valor (nota),
é a frequência correspondente, e
é o total de observações.\n
Explicação simples: a média é um “peso” das notas pelos números de alunos que tiraram cada nota — somamos cada nota vezes quantos alunos tiraram essa nota e dividimos pelo total de alunos.\n
Agora calculemos cada produto e a soma total
, mostrando passo a passo:\n
Explicação simples: a média é um “peso” das notas pelos números de alunos que tiraram cada nota — somamos cada nota vezes quantos alunos tiraram essa nota e dividimos pelo total de alunos.\n
Agora calculemos cada produto
Agora some todos esses resultados em passos pequenos para não errar:\n
Portanto
Aplicando na fórmula da média:
Fazendo a divisão (ou simplificando):
.\n
Logo a média é
Logo a média é
Passo 4
Calcular a moda. Vou lembrar do conceito e aplicar:\n
- Definição de moda para distribuições discretas: é o valor
que tem a maior frequência . Se houver empate máximo, a distribuição é multimodal; aqui procuramos o valor com frequência máxima única.\n
Olhe as frequências dadas:. A maior frequência é , que corresponde à nota .\n
Portanto a moda é
Passo 5
Calcular a mediana. Vou explicar o procedimento para dados com frequência (discreto) e depois aplicar passo a passo:\n
- Para distribuir com
observações, ordenadas do menor para o maior (já estão), a mediana é o valor que ocupa a posição central. Se for ímpar, a mediana é a observação na posição . Se for par, a mediana é a média aritmética das observações nas posições e .\n
Aqui já calculamos, que é par. Então precisamos das posições e (pois e ), e depois fazer a média das notas nas posições 25 e 26.\n
O jeito prático: montar a frequência acumulada (mostro passo a passo) e ver em que valor caem as posições 25 e 26.\n
Faço a tabela de frequências acumuladas (mostro cada soma para ficar claro):\n
Interpretação: a frequência acumulada
diz quantas observações são menores ou iguais àquela nota. Agora veja onde caem as posições 25 e 26:\n
- Até a nota
temos , logo as observações a correspondem a notas .\n - Para a nota
temos , isto significa que as observações a correspondem à nota .\n
As posiçõese estão entre e , portanto ambas correspondem à nota .\n
Como as duas posições têm valor, a mediana (média entre as duas) é\n
Resposta
Média =
\n
Moda = \n
Mediana =
Moda =
Mediana =