Calcule a média, a moda e a mediana das distribuições abaixo:
NOTAS 2 3 4 5 6 7 8 9 10
NE
ALUNOS
1 3 6 10 13 8 5 3 1

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a média, a moda e a mediana da distribuição de notas. \n
Informações dadas (retirei da tabela do enunciado):\n
  • As notas possíveis (valores) são \;2,3,4,5,6,7,8,9,10.\n
  • As respectivas frequências (número de alunos) são \;1,3,6,10,13,8,5,3,1.\n
    Portanto temos pares (nota, frequência):\n
    \;(2,1),\;(3,3),\;(4,6),\;(5,10),\;(6,13),\;(7,8),\;(8,5),\;(9,3),\;(10,1).\n
    Nada mais será assumido além desses números; a resolução começa a seguir.

Passo 2

Calcular o total de observações (N) — isto é, somar todas as frequências. Vou mostrar a soma passo a passo para você poder fazer na prova sem erro.\n
N = 1 + 3 + 6 + 10 + 13 + 8 + 5 + 3 + 1
Agora somando em blocos (para ficar mais fácil de acompanhar):\n
1+3=4,\quad 4+6=10,\quad 10+10=20,\quad 20+13=33,\n
33+8=41,\quad 41+5=46,\quad 46+3=49,\quad 49+1=50.\n
Logo
N = 50.
Explicação curta: \;N é o total de alunos; é importante porque média e mediana dependem dele.

Passo 3

Calcular a média aritmética da distribuição. Primeiro a fórmula e explicação didática:\n
  • Fórmula da média para dados com frequência:\n
\bar{x}=\frac{\sum_{i} x_i f_i}{N}
onde \;x_i é cada valor (nota), \;f_i é a frequência correspondente, e \;N é o total de observações.\n
Explicação simples: a média é um “peso” das notas pelos números de alunos que tiraram cada nota — somamos cada nota vezes quantos alunos tiraram essa nota e dividimos pelo total de alunos.\n
Agora calculemos cada produto x_i f_i e a soma total \sum x_i f_i, mostrando passo a passo:\n
2\cdot 1 = 2\n
3\cdot 3 = 9\n
4\cdot 6 = 24\n
5\cdot 10 = 50\n
6\cdot 13 = 78\n
7\cdot 8 = 56\n
8\cdot 5 = 40\n
9\cdot 3 = 27\n
10\cdot 1 = 10\n
Agora some todos esses resultados em passos pequenos para não errar:\n
2+9=11,\quad 11+24=35,\quad 35+50=85,\quad 85+78=163,\n
163+56=219,\quad 219+40=259,\quad 259+27=286,\quad 286+10=296.\n
Portanto
\sum_{i} x_i f_i = 296.\n
Aplicando na fórmula da média:
\bar{x}=\frac{296}{50}.\n
Fazendo a divisão (ou simplificando): \;296\div 50 = 5{,}92.\n
Logo a média é
\bar{x}=5{,}92.

Passo 4

Calcular a moda. Vou lembrar do conceito e aplicar:\n
  • Definição de moda para distribuições discretas: é o valor x_i que tem a maior frequência f_i. Se houver empate máximo, a distribuição é multimodal; aqui procuramos o valor com frequência máxima única.\n
    Olhe as frequências dadas: \;1,3,6,10,13,8,5,3,1. A maior frequência é \;13, que corresponde à nota \;6.\n
    Portanto a moda é
\text{Moda} = 6.

Passo 5

Calcular a mediana. Vou explicar o procedimento para dados com frequência (discreto) e depois aplicar passo a passo:\n
  • Para distribuir com N observações, ordenadas do menor para o maior (já estão), a mediana é o valor que ocupa a posição central. Se N for ímpar, a mediana é a observação na posição \frac{N+1}{2}. Se N for par, a mediana é a média aritmética das observações nas posições \frac{N}{2} e \frac{N}{2}+1.\n
    Aqui já calculamos \;N=50, que é par. Então precisamos das posições \;25 e \;26 (pois \;N/2=25 e \;N/2+1=26), e depois fazer a média das notas nas posições 25 e 26.\n
    O jeito prático: montar a frequência acumulada (mostro passo a passo) e ver em que valor caem as posições 25 e 26.\n
    Faço a tabela de frequências acumuladas (mostro cada soma para ficar claro):\n
\begin{array}{c|c|c} \text{Nota }(x_i) & \text{Frequência }(f_i) & \text{Frequência acumulada }(F_i)\\hline 2 & 1 & 1\\\\ 3 & 3 & 1+3=4\\\\ 4 & 6 & 4+6=10\\\\ 5 & 10 & 10+10=20\\\\ 6 & 13 & 20+13=33\\\\ 7 & 8 & 33+8=41\\\\ 8 & 5 & 41+5=46\\\\ 9 & 3 & 46+3=49\\\\ 10 & 1 & 49+1=50 \end{array}êê\n
Interpretação: a frequência acumulada F_i diz quantas observações são menores ou iguais àquela nota. Agora veja onde caem as posições 25 e 26:\n
  • Até a nota 5 temos F=20, logo as observações 1 a 20 correspondem a notas \le 5.\n
  • Para a nota 6 temos F=33, isto significa que as observações 21 a 33 correspondem à nota 6.\n
    As posições 25 e 26 estão entre 21 e 33, portanto ambas correspondem à nota 6.\n
    Como as duas posições têm valor 6, a mediana (média entre as duas) é\n
\text{Mediana} = \frac{6+6}{2} = 6.

Resposta

Média = \;5{,}92\n
Moda = \;6\n
Mediana = \;6

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