Exercício 5.3. Em cada item, determine um fator integrante para a EDO dada e a resolva.
x+2 y-x y^{\prime}=0, x>0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede duas coisas: determinar um fator integrante e resolver a EDO.
A equação dada é \;x+2y-xy'=0,\; x>0.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A equação é de primeira ordem (aparece y' e não há derivadas superiores).
  • A variável independente é x e a dependente é y.
  • A condição x>0 está explícita (isso garante que \ln x e potências x^a se comportem bem na escolha do fator integrante).

Passo 2

Reescrevemos a equação de forma padrão isolando y'. Partimos de
x+2y-xy'=0.
Passo a passo: passar xy' para o outro lado e dividir por x (lembrando x>0, então podemos dividir por x):
xy' = x+2y
y' = 1 + \frac{2}{x}y.
Para colocar na forma linear padrão y' + P(x)y = Q(x), escrevemos
y' - \frac{2}{x}y = 1.
Aqui P(x) = -\dfrac{2}{x} e Q(x)=1.

Passo 3

Agora uma mini-aula sobre fator integrante (do jeitinho prático e fácil).
  • Para uma equação linear de primeira ordem na forma
y' + P(x)y = Q(x),
existe uma função \mu(x), chamada fator integrante, tal que ao multiplicarmos a equação por \mu(x) o lado esquerdo se torna a derivada de \mu(x)y:
\mu(x) y' + \mu(x)P(x)y = (\mu(x)y)'.
  • Isso acontece se e somente se \mu satisfaz \dfrac{\mu'}{\mu}=P(x). Integrando,
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Ou seja: calcule \int P(x)\,dx e exponencie; esse é o fator integrante. Por isso precisamos do P(x) que já identificamos.

Passo 4

Aplicando a receita ao nosso caso, com P(x)=-\dfrac{2}{x}:
Calculemos a integral de P:
\int P(x)\,dx=\int -\frac{2}{x}\,dx = -2\ln x.
(Usamos \ln x porque x>0.)
Portanto o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\big(-2\ln x\big)=e^{\ln x^{-2}}=x^{-2}.
Observação: x^{-2}=1/x^{2} e é positiva em x>0, então tudo certo.

Passo 5

Multiplicamos a equação linear original por \mu(x)=x^{-2}. A equação y' - \dfrac{2}{x}y = 1 fica:
x^{-2}y' - 2x^{-3}y = x^{-2}.
Agora verificamos que o lado esquerdo é a derivada de x^{-2}y. De fato,
(x^{-2}y)' = x^{-2}y' + (x^{-2})'y = x^{-2}y' - 2x^{-3}y,
que é exatamente o que apareceu. Então podemos reescrever a equação como
\big(x^{-2}y\big)' = x^{-2}.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \big(x^{-2}y\big)'\,dx = \int x^{-2}\,dx.
O lado esquerdo integra para x^{-2}y. O lado direito:
\int x^{-2}\,dx = \int x^{-2}\,dx = -x^{-1} + C,
onde C é a constante de integração. Logo obtemos
x^{-2}y = -x^{-1} + C.

Passo 7

Isolamos y multiplicando ambos os lados por x^{2}:
y = x^{2}\big(-x^{-1} + C\big) = -x + Cx^{2}.
Portanto a solução geral da EDO é
y(x) = -x + Cx^{2},
com C constante real arbitrária. Lembre-se que esse resultado vale para x>0 (domínio dado).

Passo 8

Checagem rápida (sempre bom na prova): calcule y' e substitua na equação original.
y' = -1 + 2Cx.
Substituindo em x+2y-xy'=0:
x + 2(-x+Cx^{2}) - x(-1+2Cx) = x -2x + 2Cx^{2} + x - 2Cx^{2} = 0.
Confere certinho.

Resposta

\;y(x)=-x+Cx^{2},\; C\in\mathbb{R},\; x>0

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