Exercício 5.3. Em cada item, determine um fator integrante para a EDO dada e a resolva.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede duas coisas: determinar um fator integrante e resolver a EDO.
A equação dada é .
Informações relevantes que o enunciado fornece:
A equação dada é
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A equação é de primeira ordem (aparece
e não há derivadas superiores). - A variável independente é
e a dependente é . - A condição
está explícita (isso garante que e potências se comportem bem na escolha do fator integrante).
Passo 2
Reescrevemos a equação de forma padrão isolando
. Partimos de
Passo a passo: passar
para o outro lado e dividir por
(lembrando
, então podemos dividir por
):
Para colocar na forma linear padrão
, escrevemos
Aqui
e
.
Passo 3
Agora uma mini-aula sobre fator integrante (do jeitinho prático e fácil).
- Para uma equação linear de primeira ordem na forma
existe uma função
, chamada fator integrante, tal que ao multiplicarmos a equação por
o lado esquerdo se torna a derivada de
:
- Isso acontece se e somente se
satisfaz . Integrando,
Ou seja: calcule
e exponencie; esse é o fator integrante. Por isso precisamos do
que já identificamos.
Passo 4
Aplicando a receita ao nosso caso, com
:
Calculemos a integral de :
Calculemos a integral de
(Usamos
porque
.)
Portanto o fator integrante é
Portanto o fator integrante é
Observação:
e é positiva em
, então tudo certo.
Passo 5
Multiplicamos a equação linear original por
. A equação
fica:
Agora verificamos que o lado esquerdo é a derivada de
. De fato,
que é exatamente o que apareceu. Então podemos reescrever a equação como
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra para
. O lado direito:
onde
é a constante de integração. Logo obtemos
Passo 7
Isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Portanto a solução geral da EDO é
com
constante real arbitrária. Lembre-se que esse resultado vale para
(domínio dado).
Passo 8
Checagem rápida (sempre bom na prova): calcule
e substitua na equação original.
Substituindo em
:
Confere certinho.