Calcule a medida da área da região delimitada pelos gráficos das equações
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região limitada pelos gráficos das equações e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas entre curvas, que envolve encontrar os pontos de interseção e integrar a diferença entre as funções. Vamos precisar achar onde essas duas curvas se encontram e depois integrar a função que está acima da outra nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa resolver o sistema de equações:
Substituindo a primeira equação na segunda, temos:
Passo 3
Vamos expandir e simplificar a equação:
Levamos tudo para o lado esquerdo:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os valores de :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Então, temos duas soluções:
Passo 5
Com os valores de encontrados, vamos achar os correspondentes valores de usando a equação :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .
Passo 6
Agora, para calcular a área entre as curvas, vamos integrar a diferença das funções no intervalo de de a . Primeiro, resolvemos as equações para :
A partir de :
A partir de :
Passo 7
A área entre as curvas é dada por:
Aqui, e . Então,
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 9
Agora, avaliamos a expressão nos limites de y = 2 e y = -3 :