Calcule a medida da área da região delimitada pelos gráficos das equações y=x+3 e x=-y^2+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região limitada pelos gráficos das equações y = x + 3 e x = -y^2 + 3 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas entre curvas, que envolve encontrar os pontos de interseção e integrar a diferença entre as funções. Vamos precisar achar onde essas duas curvas se encontram e depois integrar a função que está acima da outra nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa resolver o sistema de equações:
y = x + 3 x = -y^2 + 3
Substituindo a primeira equação na segunda, temos:
x = -(x + 3)^2 + 3

Passo 3

Vamos expandir e simplificar a equação:
x = - (x^2 + 6x + 9) + 3 x = -x^2 - 6x - 9 + 3 x = -x^2 - 6x - 6
Levamos tudo para o lado esquerdo:
x^2 + 7x + 6 = 0

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática x^2 + 7x + 6 = 0 para encontrar os valores de x :
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1 , b = 7 , e c = 6 :
x = -7 pm raiz49 - 242 x = -7 pm raiz252 x = -7 pm 52
Então, temos duas soluções:
x = -7 + 52 = -1 x = -7 - 52 = -6

Passo 5

Com os valores de x encontrados, vamos achar os correspondentes valores de y usando a equação y = x + 3 :
Para x = -1 :
y = -1 + 3 = 2
Para x = -6 :
y = -6 + 3 = -3
Então, os pontos de interseção são (-1, 2) e (-6, -3) .

Passo 6

Agora, para calcular a área entre as curvas, vamos integrar a diferença das funções no intervalo de y de -3 a 2 . Primeiro, resolvemos as equações para x :
A partir de y = x + 3 :
x = y - 3
A partir de x = -y^2 + 3 :
x = -y^2 + 3

Passo 7

A área entre as curvas é dada por:
Área = integral-3^2 [xdireita - xesquerda] , dy Á
Aqui, xdireita = -y^2 + 3 e xesquerda = y - 3 . Então,
Área = integral-3^2 [(-y^2 + 3) - (y - 3)] , dy = integral-3^2 (-y^2 - y + 6) , dy Á

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
integral (-y^2) , dy = -y^33 integral (-y) , dy = -y^22 integral 6 , dy = 6y
Então, a integral fica:
-y^33 - y^22 + 6y |-3^2

Passo 9

Agora, avaliamos a expressão nos limites de y = 2 e y = -3 :
Para y = 2 :
-(2)^33 - (2)^22 + 6(2) = -83 - 42 + 12 = -83 - 2 + 12 = -8 - 6 + 363 = 223
Para y = -3 :
-(-3)^33 - (-3)^22 + 6(-3) = --273 - 92 - 18 = 9 - 92 - 18 = 18 - 9 - 362 = -272

Passo 10

Subtraindo as duas avaliações:
223 - ( -272 ) = 223 + 272 = 446 + 816 = 1256

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é 1256 unidades de área.

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