Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações
calcule a sua área
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região delimitada pelas equações
,
,
e
e depois calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e cálculo de integrais para achar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada equação representa:
-
é uma parábola com a concavidade voltada para a esquerda. -
é uma reta. -
e são retas horizontais que vão nos dar os limites superior e inferior da região.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção para saber onde essas curvas se encontram:
- Intersecção entre
e :
Substituímosna primeira equação:
Resolvendo essa equação quadrática, vemos que não tem solução real. Então, essas duas não se cruzam.
- Intersecão entre
e :
Ponto de interseção: (-1, -1)
- Intersecção entre
e :
Ponto de interseção: (-4, 2)
-
Intersecão entre
e : Ponto de interseção: (3, -1) -
Intersecão entre
e : Ponto de interseção: (6, 2)
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, vamos visualizar como fica a região. A parábola
abre para a esquerda, e a reta
é uma linha que passa pelos pontos (3, -1) e (6, 2). As retas
e
vão nos limitar verticalmente.
Passo 5
Para calcular a área, vamos usar a integração. Precisamos determinar quais curvas estão acima e quais estão abaixo na região delimitada. Observando os pontos, vemos que para
entre -1 e 2:
- A reta
pode ser rearranjada para . - A parábola
pode ser rearranjada para .
Então, a área
é dada pela integral da diferença entre a reta e a parábola de
a
:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Então,
Passo 7
Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Resposta
A área da região delimitada é:
Então, a área é 16,5 unidades quadradas.