Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações -x=y^2, x-y=4, y=-1, y=2 e calcule a sua área

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região delimitada pelas equações -x = y^2 , x - y = 4 , y = -1 e y = 2 e depois calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e cálculo de integrais para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada equação representa:
  • -x = y^2 é uma parábola com a concavidade voltada para a esquerda.
  • x - y = 4 é uma reta.
  • y = -1 e y = 2 são retas horizontais que vão nos dar os limites superior e inferior da região.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção para saber onde essas curvas se encontram:
  1. Intersecção entre -x = y^2 e x - y = 4 :
    Substituímos x = 4 + y na primeira equação: - (4 + y) = y^2
y^2 + y + 4 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, vemos que não tem solução real. Então, essas duas não se cruzam.
  1. Intersecão entre -x = y^2 e y = -1 : -x = (-1)^2
-x = 1 Rightarrow x = -1
Ponto de interseção: (-1, -1)
  1. Intersecção entre -x = y^2 e y = 2 : -x = (2)^2
-x = 4 Rightarrow x = -4
Ponto de interseção: (-4, 2)
  1. Intersecão entre x - y = 4 e y = -1 :
    x - (-1) = 4 Rightarrow x + 1 = 4 Rightarrow x = 3
    Ponto de interseção: (3, -1)
  2. Intersecão entre x - y = 4 e y = 2 :
    x - 2 = 4 Rightarrow x = 6
    Ponto de interseção: (6, 2)

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, vamos visualizar como fica a região. A parábola -x = y^2 abre para a esquerda, e a reta x - y = 4 é uma linha que passa pelos pontos (3, -1) e (6, 2). As retas y = -1 e y = 2 vão nos limitar verticalmente.

Passo 5

Para calcular a área, vamos usar a integração. Precisamos determinar quais curvas estão acima e quais estão abaixo na região delimitada. Observando os pontos, vemos que para y entre -1 e 2:
  • A reta x - y = 4 pode ser rearranjada para x = y + 4 .
  • A parábola -x = y^2 pode ser rearranjada para x = -y^2 .
Então, a área A é dada pela integral da diferença entre a reta e a parábola de y = -1 a y = 2 :
A = integral-1^2 [(y + 4) - (-y^2)] , dy = integral-1^2 (y + 4 + y^2) , dy

Passo 6

Vamos calcular a integral:
A = integral-1^2 (y^2 + y + 4) , dy
Integrando termo a termo:
integral y^2 , dy = y^33
integral y , dy = y^22
integral 4 , dy = 4y
Então,
A = [ y^33 + y^22 + 4y ]-1^2

Passo 7

Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de integração:
Para y = 2 :
2^33 + 2^22 + 4 times 2 = 83 + 2 + 8 = 83 + 10 = 383
Para y = -1 :
(-1)^33 + (-1)^22 + 4 times (-1) = -13 + 12 - 4 = -13 + 12 - 4
= -26 + 36 - 4 = 16 - 4 = -236

Resposta

A área da região delimitada é:
A = 383 - ( -236 ) = 383 + 236 = 766 + 236 = 996 = 16,5
Então, a área é 16,5 unidades quadradas.

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