Esboce a região R delimitada y=x^3+1, x+2 y=2, x=4 e calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente precisa desenhar a região R que é limitada pelas curvas y = x^3 + 1 , pela reta x + 2y = 2 e pela linha vertical x = 4 . Depois, vamos calcular o volume do sólido que resulta quando essa região é girada em torno do eixo y .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo como interseção de curvas, regiões restritas e métodos de integração para volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se intersectam para saber os limites da nossa região R .
Temos duas equações:
  1. y = x^3 + 1
  2. x + 2y = 2
Vamos substituir a expressão de y da primeira equação na segunda:
x + 2(x^3 + 1) = 2
x + 2x^3 + 2 = 2
2x^3 + x = 0
x(2x^2 + 1) = 0
Então, x = 0 ou 2x^2 + 1 = 0 . A segunda equação não tem solução real, então o único ponto de interseção é quando x = 0 .
Substituindo x = 0 na primeira equação:
y = 0^3 + 1 = 1
Portanto, as curvas se intersectam no ponto (0, 1) .

Passo 3

Agora, vamos esboçar a região R .
  1. Curva y = x^3 + 1 : É uma função cúbica deslocada para cima de 1 unidade.
  2. Reta x + 2y = 2 : Podemos reescrever como y = 2 - x2 , que é uma reta decrescente com intercepto em y = 1 quando x = 0 .
  3. Linha vertical x = 4 : É uma linha reta vertical no ponto x = 4 .
Com o ponto de interseção em (0, 1) , a região R está limitada pela curva cúbica, pela reta e pela linha vertical até x = 4 .

Passo 4

Para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo y , vamos usar o método dos discos ou anéis. Mas, como estamos girando em torno do eixo y , é mais conveniente usar o método dos discos com integração em relação a y .
Primeiro, precisamos expressar x em função de y .
Temos:
  1. Da curva y = x^3 + 1 , isolando x :
x = raiz[3]y - 1
  1. Da reta x + 2y = 2 , isolando x :
x = 2 - 2y
  1. A linha vertical x = 4 .
Vamos determinar os limites de integração em y . Na interseção de x = 0 e y = 1 , vamos até x = 4 .

Passo 5

Vamos identificar o intervalo de y onde a região R existe.
Quando x = 4 na curva cúbica:
y = 4^3 + 1 = 64 + 1 = 65
Na reta x = 4 :
x + 2y = 2 Rightarrow 4 + 2y = 2 Rightarrow 2y = -2 Rightarrow y = -1
Então, o intervalo de y vai de y = -1 até y = 65 .

Passo 6

O método dos discos nos diz que o volume V é dado por:
V = pi integrala^b [ R(y)^2 - r(y)^2 ] dy
Onde:
  • R(y) é o raio externo.
  • r(y) é o raio interno.
Neste caso, como estamos girando em torno do eixo y , temos:
  • O raio externo é x = 4 .
  • O raio interno é dado pela diferença entre as duas funções de x em termos de y , isto é, R(y) = 4 e r(y) = raiz[3]y - 1 .
Portanto, a fórmula fica:
V = pi integral-1^65 (4^2 - ( raiz[3]y - 1 )^2 ) dy
V = pi integral-1^65 (16 - (y - 1)^23 ) dy

Passo 7

Vamos calcular a integral:
V = pi [ integral-1^65 16 , dy - integral-1^65 (y - 1)^23 , dy ]
Calculando cada parte separadamente:
  1. Integral de 16 em relação a y :
integral 16 , dy = 16y
  1. Integral de (y - 1)^23 em relação a y :
integral (y - 1)^23 , dy = 35 (y - 1)^53 + C
Agora, aplicando os limites de -1 a 65:
V = pi [ 16y |-1^65 - 35 (y - 1)^53 |-1^65 ]

Passo 8

Vamos calcular cada termo:
  1. Primeiro termo:
16y |-1^65 = 16(65) - 16(-1) = 1040 + 16 = 1056
  1. Segundo termo:
35 (y - 1)^53 |-1^65 = 35 [ (65 - 1)^53 - (-1 - 1)^53 ]
= 35 [ 64^53 - (-2)^53 ]
Calculando:
64^53 = (4^3)^53 = 4^5 = 1024
(-2)^53 = - (2)^53 = - (2^1)^53 = -2^53 approx -2.5198
Portanto:
35 (1024 - (-2.5198)) = 35 (1026.5198) approx 615.9119

Passo 9

Agora, substituindo os valores na expressão do volume:
V = pi [ 1056 - 615.9119 ] = pi (440.0881)
Portanto:
V approx 440.0881 pi , unidades cúbicas ú

Resposta

O volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno do eixo y é aproximadamente 440.09,pi unidades cúbicas.

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