Esboce a região R delimitada e calcule o volume do sólido gerado pela rotação de em torno do eixo y.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente precisa desenhar a região que é limitada pelas curvas , pela reta e pela linha vertical . Depois, vamos calcular o volume do sólido que resulta quando essa região é girada em torno do eixo .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo como interseção de curvas, regiões restritas e métodos de integração para volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se intersectam para saber os limites da nossa região .
Temos duas equações:
Vamos substituir a expressão de da primeira equação na segunda:
Então, ou . A segunda equação não tem solução real, então o único ponto de interseção é quando .
Substituindo na primeira equação:
Portanto, as curvas se intersectam no ponto .
Passo 3
Agora, vamos esboçar a região .
Curva : É uma função cúbica deslocada para cima de 1 unidade.
Reta : Podemos reescrever como , que é uma reta decrescente com intercepto em quando .
Linha vertical : É uma linha reta vertical no ponto .
Com o ponto de interseção em , a região está limitada pela curva cúbica, pela reta e pela linha vertical até .
Passo 4
Para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação de em torno do eixo , vamos usar o método dos discos ou anéis. Mas, como estamos girando em torno do eixo , é mais conveniente usar o método dos discos com integração em relação a .
Primeiro, precisamos expressar em função de .
Temos:
Da curva , isolando :
Da reta , isolando :
A linha vertical .
Vamos determinar os limites de integração em . Na interseção de e , vamos até .
Passo 5
Vamos identificar o intervalo de onde a região existe.
Quando na curva cúbica:
Na reta :
Então, o intervalo de vai de até .
Passo 6
O método dos discos nos diz que o volume é dado por:
Onde:
é o raio externo.
é o raio interno.
Neste caso, como estamos girando em torno do eixo , temos:
O raio externo é .
O raio interno é dado pela diferença entre as duas funções de em termos de , isto é, e .