Determine
, esboce o gráfico e identifique as assíntotas verticais e horizontais.
Passo 1
O enunciado pede as duas limitações unilaterais de
quando
pela direita e pela esquerda, com
. Além disso, temos que esboçar o gráfico de
e identificar as assíntotas verticais e horizontais. Vamos usar conceito de domínio, fatoração do denominador, comportamento perto de raízes do denominador (assíntotas verticais) e limite no infinito (assíntota horizontal).
Passo 2
Determinamos o domínio e as assíntotas verticais fatorando o denominador:
Logo
não existe em
nem em
. São candidatas a assíntotas verticais as retas
Passo 3
Calculamos as duas quedas em
. Note que o numerador
para todo
. O sinal de
perto de
vem de
.
- Para
: pequeno, denominador pequeno
- Para
: pequeno, denominador pequeno
Passo 4
Para achar a assíntota horizontal, fazemos o limite quando
. Como grau do numerador e do denominador é igual, a assíntota é a razão dos coeficientes líderes:
Então existe a assíntota horizontal
Passo 5
Para esboçar o gráfico, dividimos em três intervalos:
-
: , denom> , e quando temos . -
: , denom< , com e . -
: , denom> , com e quando .
Marque as retas verticais, e a horizontal , e esboce três ramos conforme o sinal e os limites acima.
Resposta
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal: