Determine lim x a^+ f(x), lim x a^- f(x), esboce o gráfico e identifique as assíntotas verticais e horizontais.
f(x)=2 x^2x^2-x-2, a=2

Passo 1

O enunciado pede as duas limitações unilaterais de
f(x)=2x^2x^2-x-2
quando xto a pela direita e pela esquerda, com a=2. Além disso, temos que esboçar o gráfico de f e identificar as assíntotas verticais e horizontais. Vamos usar conceito de domínio, fatoração do denominador, comportamento perto de raízes do denominador (assíntotas verticais) e limite no infinito (assíntota horizontal).

Passo 2

Determinamos o domínio e as assíntotas verticais fatorando o denominador:
x^2-x-2=(x-2)(x+1)
Logo f não existe em x=2 nem em x=-1. São candidatas a assíntotas verticais as retas
x=2, x=-1

Passo 3

Calculamos as duas quedas em x=2. Note que o numerador 2x^2>0 para todo xneq0. O sinal de f perto de 2 vem de (x-2)(x+1).
  • Para xto2^+: x-2>0 pequeno, x+1approx3>0 Rightarrow denominador >0 pequeno Rightarrow
limxto2^+f(x)=+infty
  • Para xto2^-: x-2<0 pequeno, x+1approx3>0 Rightarrow denominador <0 pequeno Rightarrow
limxto2^-f(x)=-infty

Passo 4

Para achar a assíntota horizontal, fazemos o limite quando xtopminfty. Como grau do numerador e do denominador é igual, a assíntota é a razão dos coeficientes líderes:
limxtopminftyf(x) =limxtopminfty2x^2x^2- x-2 =2
Então existe a assíntota horizontal
y=2

Passo 5

Para esboçar o gráfico, dividimos em três intervalos:
  • x<-1: (x-2)<0, (x+1)<0 Rightarrow denom> 0Rightarrow f>0, e quando xto-infty temos fto2^+.
  • -1<x<2: (x-2)<0, (x+1)>0 Rightarrow denom< 0Rightarrow f<0, com limxto-1^-f=+infty e limxto2^-f=-infty.
  • x>2: (x-2)>0, (x+1)>0 Rightarrow denom> 0Rightarrow f>0, com limxto2^+f=+infty e fto2^+ quando xto+infty.
    Marque as retas verticais x=-1, x=2 e a horizontal y=2, e esboce três ramos conforme o sinal e os limites acima.

Resposta

limxto2^+f(x)=+infty, limxto2^-f(x)=-infty
Assíntotas verticais: x=2 e x=-1.
Assíntota horizontal: y=2.

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